Matematicamente

domenica 27 luglio 2008

Oltre La Geometria Euclidea [Scheda Storica]


Cari ragazzi di tutte le classi, in prima abbiamo iniziato lo studio della geometria. Lo scorso anno tre ragazze dell’ex-prima A (Agnese, Miriam e Letizia) scrissero un post interessante “Si inizia con la geometria”, in cui esponevano il risultato di una loro ricerca sulla geometria euclidea e  sull’opera di Euclide (vi invito a rileggere il post, che è molto istruttivo!).



Adesso riprendiamo l’argomento con un excursus veloce circa la nascita e l’evoluzione della geometria euclidea…e oltre!!!



Buona lettura!



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La nascita della geometria probabilmente avvenne quando l’uomo primitivo iniziò ad osservare la natura e cercò di riprodurre per mezzo di disegni quello che vedeva: guardando il Sole e la Luna è nato il concetto di cerchio, le stelle sono i punti, una grande pianura il piano, una montagna il triangolo. Per molti anni la geometria è stata così relegata a motivazioni pratiche come la costruzione di oggetti (frecce, ciotole…) ispirandosi alle forme “geometriche” derivabili dalla natura.



Dobbiamo arrivare alle grandi civiltà Egiziana ed Assiro-Babilonese per vedere i primi elementicalcoli di geometria applicati alla misurazione di lunghezze e superfici.
Il grande sviluppo della geometria si fa risalire al VII secolo a. C. quando i matematici greci, grazie anche alle conoscenze acquisite nei numerosi viaggi in Oriente, iniziarono ad elaborare un sistema strutturato. Poco alla volta la geometria diventò slegata da ogni applicazione pratica e gli enti geometrici diventarono concetti mentali sui quali cercare legami e proprietà. Pitagora prima (VI secolo a. C.) ed Eudosso poi (IV secolo a.C.) diedero un notevole contributo in questo senso, ma l’intervento più importante fu quello di Euclide (300 a.C. circa). Nella sua opera, i 13 libri degli Elementi, che sono il primo trattato scientifico arrivato sino a noi, Euclide raccoglie le conoscenze geometriche dell’epoca e le espone in modo sistematico, astratto e generalizzato, creando così un modello di teoria matematica che è rimasto insuperato per secoli. Nei suoi libri, Euclide segue uno schema logico ben preciso: inizia a definire i “termini”, cioè la definizione delle parole usate nel seguito; successivamente vengono enunciate le proposizioni non dimostrate, chiamate assiomi o postulati. Tutte le altre conseguenze, i teoremi, derivano dalle definizioni iniziali mediante processi  di ragionamento chiamati dimostrazioni.
Per secoli, Euclide è stato considerato un’autorità scientifica indiscutibile e la sua geometria (la cosiddetta geometria euclidea) costituì il  modello di base per la rappresentazione della realtà in gran parte del mondo. Essa influenzò anche l’arte, l’architettura e la stessa psicologia dell’uomo, il suo modo di vedere le cose e di pensare.



saccheriNel 1700 il gesuita italiano Girolamo Saccheri, considerando gli assiomi di Euclide, volle provare a dimostrare il 5° postulato (per un punto esterno a una retta passa una e una sola parallela) a partire dagli altri assiomi. Nel tentativo di provare la sua tesi, partendo dalla negazione del 5° postulato,  riuscì a costruite una pseudogeometria che funzionava anche senza il 5° postulato. La sua opera conobbe una certa fama dopo la sua morte, ma poi andò dimenticata.



 



 



La svolta avviene circa un secolo dopo, quando il matematico russo Nikolaj Ivanovic Lobacewskij (1793-1856) e l’ungherese Janos Bolyai ( 1802- 1860), indipendentemente uno dall’altro, capirono che non era possibile dimostrare il 5° discopoincaréiperbolicaassioma di Euclide a partire dagli altri assiomi. Entrambi costruirono una geometria basata sulla considerazione che, data una retta r e un punto P fuori di essa, esiste più di una parallela  per P alla retta r. Con questo nuovo assioma riuscirono a costruire una nuova geometria alla quale fu dato il nome di geometria iperbolica. In essa non valgono molti teoremi (per esempio il teorema di Pitagora o quello relativo alla somma degli angoli interni di un triangolo) ed è possibile compiere operazioni geometriche impossibili (ad esempio la quadratura del cerchio).



 



Un secolo più tardi, il tedesco Georg F.B. Riemann (1826-1866), sempre negando il 5° postulato di Euclide, costruì un’altra geometria, detta geometria ellittica, basata sul presupposto che per un punto esterno ad una retta non si può condurre alcuna parallela.
Per avere un esempio della geometria ellittica basta considerare un mappamondo. Su di esso è possibile costruire un triangolo con tre angoli retti. Basta, infatti:



geometriaellittica• Posizionarsi sull’Equatore in corrispondenza del meridiano di Greenwich (0°)
• Spostarsi a destra lungo l’Equatore per 90°
• Salire verso il polo Nord
• Ripercorrere il meridiano di Greenwick fino a giungere all’Equatore.



Ma allora perché studiare la geometria euclidea? Possiamo affermare senza ombra di dubbio che le sue conclusioni continueranno a valere ancora per molti anni. Sulla superficie terrestre continueremo ad usare questa geometria per costruire case, strade ed altro ancora. Allo stesso tempo, però, oggi disponiamo anche di altre geometrie che possiamo utilizzare a seconda dei nostri scopi.
Nello studio dell’astronomia, spesso, soprattutto per gli oggetti più distanti (quasar), si ricorre alla geometria iperbolica.



Nella robotica invece si possono muovere i bracci del robot lungo circonferenze o su una sfera, utilizzando le leggi della geometria ellittica. Un’altra applicazione la troviamo 180px-Industrial_Robotics_in_car_productionnella determinazione delle rotte degli aerei. I piloti degli aerei sanno benissimo che per andare da Milano a New York è più veloce passare dal Polo Nord che viaggiare lungo il parallelo: utilizzano così la geometria ellittica anche se forse non l’hanno mai studiata.



 



 



 



 



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Una versione bilingue (inglese-greco) degli Elementi



Euclid's Elements (using geometry applet)



Euclid's Elements (Table of Contents)



Leggi i post correlati, cliccando sul tag "geometria">>



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Bibliografia di riferimento: Vacca, Artuso, Bezzi “Geometria 1”, ATLAS 



venerdì 25 luglio 2008

Paradossi Geometrici Percettivi [Illusioni Ottiche]

Vi propongo alcuni interessanti paradossi geometrici percettivi, selezionati in rete. 
Guardate che cosa può elaborare la nostra mente, a partire da immagini che presentano  particolari accostamenti di forme e colori!



Questa illusione viene chiamata "della corda ritorta" o "dei cerchi di Frazier".

In queste due immagini, per esempio, quelle che sembrano delle spirali sono, in realtà, dei cerchi!

L'accostamento tra le curve bicolori e lo sfondo inganna la percezione della continuità dei singoli cerchi e ci costringe a vedere delle linee curve che vanno dalla periferia al centro come nelle di spirali.




lunedì 21 luglio 2008

La Misura E... La Lite Fra Monsieur Denis E Monsieur Durand

Cari ragazzi e cari lettori, vi invito a leggere con attenzione la storia, che vi propongo di seguito.


***


Siamo in Francia nel 1780, in un tribunale della città di Evreux.
Monsieur Denis ha citato davanti al giudice Monsieur Durand perché ritiene di essere stato imbrogliato. Fra il brusio del pubblico, il giudice chiede. <<Monsieur Denis, perché dite che Durand vi ha imbrogliato? Vi ha venduto un pezzo di terra e ve lo ha consegnato regolarmente. Di che vi lamentate?>>
Denis risponde:
<<E’ semplice. Durand mi ha consegnato meno della metà della terra che avevo comprato. Per fortuna avevamo scritto insieme un contratto. Eccolo, signor giudice. Dice che il terreno che Durand mi ha venduto ha l’estensione di un A. Ora in Normandia sappiamo che un A non può voler dire altro che “un acro di Normandia”. Io lo conosco bene un acro di Normandia. E’ un quadrato che ha un lato lungo 90 passi dei miei…>>


Alcuni del pubblico gridano: <<Denis, li conosciamo bene i tuoi passi! Tu sei un gigante e i tuoi passi  sono ben lunghi>>.


Denis risponde: <<Il terreno che mi ha consegnato Durand è un quadrato, ma il lato è lungo solo 65 dei miei passi. La superficie è circa la metà di quel che dovevo avere>>.


Il giudice chiede: <<E voi, Durand, che cosa avete da dire?>>
Durand risponde: << Signor giudice, io vengo da Parigi, la capitale della Francia. A Parigi, tutti sanno che quando si scrive un A intendiamo “un arpent di Parigi”. E’ proprio questa la misura del terreno che ho dato a Denis. Che cosa vuole ora da me?>>


Denis risponde: << Ma li usino a Parigi gli arpent di Parigi! Qui a Evreux siamo praticamente in Normandia e usiamo gli acri di Normandia>>.


Il giudice non sa che fare, così decide di tagliare il male a metà. Dice: << Così non troveremo mai un accordo. Io sono stato militare e ho sempre usato l’arpent di ordinanza, che è una misura intermedia fra l’acro di Normandia e l’arpent di Parigi. Dunque decido che Durand dovrà aggiungere tanta terra a quella che consegna a Denis fino a raggiungere un arpent di ordinanza>>.


***


A quell’epoca si saranno verificati migliaia di casi simili. I calcoli di Denis erano quasi esatti. I lati dei quadrati corrispondenti a estensioni di terreno di un arpent di Parigi, di un arpent di ordinanza e di un acro di Normandia, erano rispettivamente: 65 m, 71, 4 m e 90, 04 m. Le superfici relative si ottengono moltiplicando i lati per se stessi e risultano di 4225, 5098 e 8144 metri quadrati.
Le confusioni sorgevano non solo per le superfici, ma- naturalmente- anche per le lunghezze, i volumi e i pesi. Spesso, inoltre, venivano usate unità di misura diverse a seconda di che cosa si stesse misurando: grano, birra o sostanze medicinali.


Nella sola Europa esistevano 22 diverse misure di peso e di lunghezza in: Baviera, Brema, Danimarca, Firenze, Francoforte, Genova, Ginevra, Amburgo, Olanda, Lubecca, Malta, Milano, Napoli, Portogallo, Prussia, Roma, Russia, Sassonia, Sicilia, Spagna, Svezia e Venezia.


sistemametrico2Per evitare tali problemi, nel 1790, l’assemblea costituente francese istituì una Commissione di fisici e matematici per definire un nuovo sistema di misura valido per tutti. Nacque così nel 1799 il sistema metrico decimale. Per ogni unità di misura fu realizzato un modello, in seguito più volte corretto, conservato a Sèvres (Parigi). Nel 1960 la Conferenza Generale dei Pesi e delle Misure stabilì il Sistema Internazionale delle Unità di misura oggi in vigore in 51 stati.


Vi propongo, a questo punto, un problema da risolvere, tratto dalla Finale internazionale delle Olimpiadi della matematica, 2000: “Antiche unità di misura”


All’inizio del secolo, nella regione dell’Isère, esistevano due unità per la misura di un’area:


• La “bichérée”, uguale a 1600 metri quadrati;
• Il “journal”, uguale a 1800 metri quadrati.


Robert Vassel possedeva una proprietà, una parte della quale era misurata in “bichérée” e l’altra in “journal”. Il numero delle “bichérées” era il doppio del numero dei “journali”. L’area complessiva misurava 195 000 metri quadrati. Quali erano il numero di “bichérées” e di “journali” delle due parti della proprietà?



Concludo il post con alcuni link utili.



W la Matematica. Eserciziario di matematica su: operazioni, frazioni, numeri decimali, tabelline, sistema metrico decimale per  la scuola primaria e il primo anno della scuola secondaria di 1° grado



Conversioni e convertitori online. Questo sito è composto da una serie di convertitori on-line che permettono la conversione delle unità di misura tra il sistema metrico e anglosassone.


Prontuario delle misure


E per finire, ecco lo screenshot di una interessante applicazione interattiva in flash.





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Bibliografia di riferimento: Vacca, Artuso, Bezzi “Geometria 1”, ATLAS 

venerdì 18 luglio 2008

Calcolo Di Un’Espressione Aritmetica Con Excel

Cari lettori, per fornire una qualche risposta alle parole chiave con cui Google porta visitatori a questo blog, ho deciso di preparare un sintetico tutoriale per il calcolo di una espressione aritmetica con Excel.


***


Se vogliamo calcolare il valore di una espressione, per esempio (15-6+12+2)/3, dobbiamo scrivere l’espressione preceduta dal segno “=” nella cella in cui vogliamo ottenere il risultato e premere Invio.


Fare attenzione al fatto che nella cella compare il risultato, mentre la formula si può visualizzare, selezionando la cella nella barra delle formule.


espressionepiccola1


Se i numeri che compongono l’espressione sono scritti in celle diverse, per esempio in A1:A5, l’espressione, che dovremo scrivere nella cella in cui vogliamo ottenere il risultato, sarà: = (A1-A2+A3*A4)/A5


Invece di inserire le coordinate delle celle contenenti le cifre, possiamo anche cliccare su di esse mentre scriviamo l’espressione: le coordinate saranno riportate automaticamente.


espressionepiccola2


L’utilità di un programma come Excel sta nel fatto che se modifichiamo il valore di una cella, varierà il risultato di tutti i calcoli che fanno riferimento a tale cella.


Attenzione:
Se in un’espressione figurano vari tipi di parentesi, si scrivono sempre quelle tonde al posto delle quadre e delle graffe, come si può osservare nello screenshot.


L’espressione calcolata con Excel è la seguente:


[(0/5^3)*(13^4/13^2)]*[2*(2+5)*3-5^2/1^2]+2/2.


espressione_lunga


Molto semplice, vero?


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POST CORRELATI



- La "macchina dei divisori" con Excel


- L'uso di Excel per la Statistica


- Frazioni e risorse Excel


- Le Quattro Operazioni Con Excel [Esercitazione]


- Tabelle E Grafici Con Excel [Esercitazione Di Cecilia]


lunedì 14 luglio 2008

Tabelline... A Tutto Gas, Per Ripassare In Allegria!

Cari ragazzi di 1° A, vi propongo alcune ottime e divertenti risorse per il ripasso delle tabelline. Alcuni di voi ne hanno veramente bisogno, ma il ripasso fa bene a tutti!!!


E allora, via...


Cliccate sui link, che trovate subito dopo le immagini proposte.


Cominciamo con la proposta di Maestra Renata. Seguite le indicazioni del post, che raggiungerete cliccando sul link. 




Ed ecco la proposta di Maestra Maria Pia! 



Non potevano mancare le tabelline di Maestro Renato.



Altre risorse sulle tabelline:


- da "Il paese dei bambini che sorridono" gioca online!


- Gioca con le "Crucitabelline" di Maestra Sandra!


- Gioca con la "Tombola delle tabelline" da fabbriscuola.it!


Nei post correlati, troverete, inoltre, risorse sulle tabelline raggiungibili su questo blog.


Buon ripasso!!!


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POST CORRELATI


- Tabelline e Didattica

Porsi E Risolvere Problemi: La Tartaruga Ghina (Classi 1°- 2° Primaria)

Questo post è dedicato, in particolare, ai colleghi della primaria, in seguito alle numerose richieste che ho ricevuto tramite email e contatti diretti.


Poiché negli anni ho lavorato a stretto contatto con le maestre per progetti di continuità tra i livelli scolastici primaria-secondaria (anche direttamente sulle classi), ho risposto volentieri alle sollecitazioni ricevute.


Propongo un’attività suggerita dall’UMI (Unione Matematica Italiana), che ho utilizzato diverse volte in contesti concreti, con apprezzabili risultati.


Il percorso di apprendimento è rivolto ai bambini  delle classi 1°2° primaria.


La tabella seguente offre un sintetico quadro didattico di riferimento.


tabella1_ghina


Il contesto
Percorsi


Descrizione dell’attività
Consegna: Ghina la tartarughina cammina lungo questo viale con le piastrelle numerate


tabella_pitagorica


 


percorso1-2


 


percorsi3-4


Osservazioni
Potrebbe essere consigliabile fermare il percorso alla casella 50.
Può risultare difficile per i bambini l’interpretazione dell’indicazione implicita nelle frecce per il fatto che si trovano allineate nello stesso rigo, in questo caso apportare ad ogni percorso delle variazioni. Ad esempio, il primo percorso può essere così modificato.


ritaglio1bis2


Per la soluzione di questo problema, è necessario individuare l’ambiente in cui la tartaruga si muove, conoscere il linguaggio delle frecce ed interpretare correttamente i simboli. I bambini dovranno essere in grado, anche, di seguire i percorsi proposti sia in avanti che a ritroso per individuare il punto di partenza o di arrivo. Dovranno, inoltre, saper inventare percorsi usando simboli adeguati.


Una ulteriore competenza, che viene attivata da questa situazione problematica, consiste nella capacità di saper scegliere il percorso ottimale al fine di rendere minimo il numero dei passi.


Alla prossima!


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- Problemi matematici, atto primo: comprendere il testo


- Risolviamo i problemi con il metodo grafico


- Il metodo dei diagrammi di flusso nella risoluzione dei problemi


mercoledì 9 luglio 2008

La “Storia” Delle Frazioni: Curiosità In Pillole

Cari ragazzi, amici e lettori, vi propongo con questo post alcune curiosità circa l'origine e lo sviluppo delle frazioni nel tempo.

Colgo l'occasione per informarvi che, per tutto il mese di luglio e agosto, essendo fuori sede e disponendo di una connessione precaria, non potrò essere sollecita come vorrei nelle risposte ai commenti e nelle visite ai blog amici. Sorry!
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L’idea di dover considerare un intero diviso in più parti è senz’altro antichissima, già gli uomini preistorici sicuramente si cimentavano con ripartizioni delle prede cacciate, o la suddivisione di altri cibi e utensili. Le nostre conoscenze sulla scoperta delle frazioni, come idea di divisione di un intero, risalgono agli Egizi, i quali però utilizzavano una simbologia un po’ più complicata di quella ora in uso.

250px-Storia_della_frazione2Inizialmente gli Egizi, per rappresentare il concetto di frazione, mettevano un puntino o un ovale sopra il numero, che esprimeva l’unità frazionaria; per esempio, per indicare 1/3 scrivevano 3 sormontato da un ovale, e 1/5 veniva scritto con 5 sormontato da un ovale.
Essi non rappresentavano le frazioni con numeratore maggiore di 1 con particolari segni, ma le scrivevano come somme di frazioni.


Per esempio, la frazione 5/6 si può scrivere 1/6 + 1/6 + 1/6 +  1/6 + 1/6; oppure 1/2 (= 6/12) si può scrivere 1/12 + 1/12 + 1/12 + 1/12 + 1/12 + 1/12. La frazione 14/3, che è data dalla somma di 1/3 + 1/3 + 1/3 + 1/3…14 volte = 12/3 + 1/3 + 1/3, si può scrivere 4 + 1/3 + 1/3. Che fatica!

Anche presso gli antichi Greci e Romani era noto il concetto di frazione, ma la notazione da loro usata era ancora piuttosto complicata rispetto a quella attuale. Di quel periodo è rimasto in uso corrente il termine minuzia, che utilizziamo per indicare qualcosa di molto piccolo o insignificante. Questo termine deriva dal latino minuciae, che i Romani usavano per indicare le frazioni, cioè qualcosa di più piccolo dell’intero.

Per nostra fortuna, nella seconda metà del XVI secolo, lo scienziato Simone Stevino approfondì lo studio delle frazioni decimali, spinto dalla necessità di trovare semplici metodi per risolvere problemi economici, sorti con l’intenso fiorire degli scambi commerciali. Poiché, come si sa, il tempo è denaro, divenne necessario utilizzare un metodo di calcolo più efficiente e veloce: venne così introdotta la simbologia ancora oggi usata.

L’archeologia ci ha aiutato a costruire la storia della matematica. Per esempio, molte conoscenze sui più antichi metodi di calcolo frazionario ci arrivano dal papiro di Rhind, così chiamato perché acquistato nel 1858 dall’antiquario scozzese Henry Rhind. Questo papiro egizio è un documento antichissimo, attualmente conservato al British Museum di Londra, e la sua scoperta ci ha rivelato quanto antico sia l’utilizzo delle frazioni. Ricordate il problema dei pani? papiro_rhindIl papiro di Rhind è il più importante documento egizio di matematica e risale al 1650 a.C.
Dallo studio di questo famoso papiro, risulta che gli Egizi utilizzassero le frazioni per risolvere diversi problemi, tra i quali anche il calcolo dell’angolo da dare alle pareti delle piramidi. Sembra che un approfondimento in questo campo fosse stato necessario dopo il crollo di una piramide, dovuto a una errata inclinazione delle sue pareti.
Si ritiene che il papiro di Rhind sia stato scritto dallo scriba Ahmes, il quale dichiara, sul papiro stesso, di averlo copiato da un altro papiro molto più antico, risalente al 1950 circa a.C. Facendo una semplice somma, le considerazioni matematiche riportate su quel papiro risalgono a 4000 anni fa!


Come abbiamo visto, i metodi di rappresentazione delle frazioni utilizzate dagli Egizi appaiono abbastanza scomodi e difficoltosi; nonostante ciò sono stati utilizzati per più di 3000 anni, infatti esistono trattati scritti da studiosi del 1200 in cui appaiono tavole numeriche con frazioni molto simili a quelle del papiro di Rhind.
Se ne avete voglia, leggete i post correlati, dove troverete diversi argomenti per il ripasso.


NOTA: riporto di seguito il commento al post della maestra Renata del blog splash ragazzi perché vi sono segnalati due link interessanti, che vale la pena visitare.

Grazie, Renata!

Scrive Renata: "Ai miei alunni è piaciuto molto il fatto che un tempo le frazioni si chiamassero "rotti", espressione che è rimasta nel linguaggio comune (100 euro e rotti).
La rete, strumento della meraviglia ;), ci offre la possibilità di toccare con mano questo tempo passato a esempio in un
Dizionario del dialetto veneziano del 1829 o in un trattato del 1747 di tal Alberto Pappiani La scienza delle grandezze dimostrata colle principali calcolazioni.


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POST CORRELATI
Dalle frazioni equivalenti ai numeri razionali assoluti 

mercoledì 2 luglio 2008

Test Online Per Esercitarsi Sui Numeri Razionali E Il Calcolo Con Le Frazioni

Cari ragazzi delle seconde A e B,


ho scelto in rete per voi dei test, da svolgere completamente online sulle diverse tipologie di numeri razionali: decimali finiti, illimitati periodici semplici e misti, operazioni con le frazioni. Non c'è bisogno di carta e penna perché gli esercizi proposti sono di facile soluzione.


Mi direte:"Ma non sono sufficienti quelli che ci hai già assegnato?


Avete ragione! Questi sono una alternativa per chi ama lavorare online oppure consideratela una proposta aggiuntiva per i più volenterosi. Vedete voi! Una cosa è certa! Non si va in esaurimento per qualche esercizio in più!


Cliccando sui due link, che trovate dopo gli screenshot, raggiungerete le pagine web che ospitano i test.


Nei post correlati, alla fine dell'articolo, si possono consultare, per il ripasso, argomenti inerenti. 


 


http://www.pernigo.com/math/aritmetica/razionali/test/razionali.htm




http://www.pernigo.com/math/aritmetica/frazioni/test/frazioni_calcolo.htm


Ubi Math Point - Test sulle frazioni e sul calcolo con le frazioni - Frazioni e operazioni in Q via kwout


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POST CORRELATI


- Dalle frazioni equivalenti ai numeri razionali assoluti


I numeri razionali: frazioni e numeri decimali


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- [Giochi online] Frazioni


- [Guida operativa] Costruzione di frazioni


Giochi con i numeri naturali, le frazioni, i numeri decimali e le percentuali

martedì 1 luglio 2008

La Straordinaria Storia Dello Zero - 1° Parte

Cari ragazzi, amici e lettori,


questo post nasce per dare la meritata visibilità a due significativi commenti ad un articolo sullo zero di qualche tempo fa: Lo Zero "0": E' Un Numero Naturale, Sì o No?


Autori dei due commenti sono gli amici Gaetano e Enzo. Ma andiamo con ordine e introduciamo il primo commento, che poi parla della straordinaria storia dello zero.


***


La straordinaria storia dello zero.


Abbiamo visto quanta matematica si rileva, scavando nel passato – mettiamo nelle fondamenta di una città come quella di Torino romana. Potremmo tentare questa strada per ampliare l'orizzonte della questione provocatoria dello zero, se naturale o no, posta dalla prof Annarita Ruberto, tanto più che gli accademici della matematica sembrano essere in discordia tra loro su questa cosa.
Infatti, alle diverse opinioni, che potrebbero scaturire, si aggiungerebbe il lato interessante del venire a conoscenza della radice “naturale” dato ai numeri in discussione, ai quali non si sa se lo zero appartenga.
 
Perché non parlare della straordinaria storia dello zero?


<>.


Con questa domanda, inizia il capitolo dedicato alla storia dello zero nel libro “Intelligenza matematica” (di Brian Butterworth) già presentato in questo blog.


L’autore, poi prosegue:<< I nostri simboli numerici derivano sicuramente dai loro, che in origine rappresentavano le unità e le decine secondo il principio delle fiches da poker, e non quello del valore posizionale; il percorso che condusse da quei simboli alla notazione posizionale con lo zero è tuttavia uno dei più straordinari della storia della scienza, un percorso che dipende in modo fondamentale dalla tecnologia ma anche dalla poesia...>>.


E qui l'accademico Butterworth si dilunga sulla storia della valle dell'Indo, ricca e avventurosa. E poi inizia dalla matematica che riguarda voi ragazzi e a noi interessa.


«...C'era moltissima matematica nella valle dell'Indo. Un trattato era stato compilato mille anni prima, ai tempi del massimo splendore della letteratura Veda. Gautama Buddha, secondo il poema epico in sanscrito Lalita Vistara (scritto 2.000 anni fa) conosceva i nomi dei numeri fino a 10^53, e diceva che esistevano altre otto «sequenze» oltre a questa. Probabilmente questi numeri non furono mai usati nei calcoli, ma la consapevolezza della loro esistenza può aver creato un ulteriore impulso a elaborare una notazione atta a rappresentarli...»
E così via.
Ma poi il professore accademico entra nel vivo della storia dello zero, spiegando alcune cose assai interessanti di ordine didattico. Sentite.


«...I matematici indiani avevano un ingrediente segreto che semplificò l'invenzione dello zero: la poesia. Nel popolare poema in versi Agni Purana, scritto in sanscrito attorno al 300 d. C., troviamo numeri scritti in forma di parole con un valore posizionale. Questi in genere non erano vocaboli numerici, ma parole che evocavano il numero. Così, invece di 1 avrebbe potuto essere scritto “luna”, dato che c'è una sola luna; analogamente, per 2 si sarebbe potuto usare “braccia” o “occhi” oppure “ali”; per 5 si sarebbe potuto usare “frecce”, dato che “Kama”, il dio dell'amore, aveva cinque frecce nella sua faretra. Le parole per lo zero erano molte. Fra di esse c'era “sunya”, che significa vuoto, ma c'erano anche parole che significavano completo, buco, intero e così via. Usando una serie di parole, compresi vocaboli numerici, era possibile costruire una frase poetica e memorizzabile.
Parole in successione rappresentavano potenze crescenti di 10 a partire dalle unità, a cui seguivano le decine e così di seguito. Dove mancava una potenza di 10 si usava al suo posto una parola che evocava lo zero. Così, 1.201 poteva scriversi “sasi-paksa-kha-cka”:Luna-ali-buco-uno”. Questo è un sistema di notazione posizionale con lo zero. Non era più necessario associare ai numeri delle cifre o un nome per specificarne il valore.
Il passo finale fu l'adozione di simboli speciali, chiamati numeri di Gwalior, derivanti dai più antichi numerali brahmi e chiaramente predecessori dei nostri attuali numeri con il 2 e il 3 quasi identici. Il più antico esempio conoscitivo di notazione posizionale con lo zero (un piccolo cerchio) è l'iscrizione di Gwalior, risalente all'87O d.C., in cui compaiono i numeri 270 e 187. Da questo punto, il percorso che conduce ai nostri numerali è diritto. Tutta la parte difficile dell'opera era stata fatta; era necessario soltanto rendere i numeri un po' più chiari.
..».


«Questa storia mostra che la nostra notazione posizionale non ebbe un unico inventore, né nacque in un solo luogo. I pezzi del mosaico furono messi insieme nel corso di 2.500 anni, a partire dal sistema babilonese parzialmente posizionale, che in qualche casa indicava le posizioni vuote, e passando per la tecnologia delle tavolette, i vocaboli numerici in base 10 del sanscrito e delle lingue che ne discesero, e la poesia delle tavole trigonometriche indiane nel sesto secolo dopo Cristo. ».


Ma voi credete che la storia finisce qui? No, perché c'è quella dello zero dei Maya ancora più straordinaria, descritta di seguito a questa, nel libro di Brian Butterworth.
Ma per ora può bastare, perché ci rende consapevoli di una cosa fondamentale, il valore delle parole. Nel nostro caso è la parola “naturale”, ben sapendo quanta cultura, non solo matematica, gli antichi hanno tratto dalla natura, appunto. E lo zero abbiamo visto che da essa è sorto. (
Gaetano)


Continuiamo con il secondo commento che si riferisce ad una splenida poesia del grande Trilussa, proposta da Enzo, con la relativa traduzione dal romanesco in italiano.


Nummeri
- Conterò poco, è vero:
- diceva l'Uno ar Zero -
ma tu che vali? Gnente: propio gnente.
Sia ne l'azzione come ner pensiero
rimani un coso voto e inconcrudente.
lo, invece, se me metto a capofila
de cinque zeri tale e quale a te,
lo sai quanto divento? Centomila.
È questione de nummeri. A un dipresso
è quello che succede ar dittatore
che cresce de potenza e de valore
più so' li zeri che je vanno appresso.


Numeri
-Conterò poco, è vero -
diceva l'uno allo zero -
ma tu che vali? Niente, proprio niente.
Sia nell'azione che nel pensiero
resti una cosa vuota e inconcludente.
Io, invece, se mi metto a capofila
di cinque zeri uguali a te,
sai quanto divento? Centomila.
È questione di numeri. Più o meno
è quanto succede a un dittatore
che cresce di potenza e di valore
più sono gli zeri che lo seguono.


Enzo afferma nel commento di aver reperito la poesia di Trilussa, nel corso di una ricerca in rete, da un post del blog My  Red Passion, che ho visitato e da cui riporto l'interessante risposta dell'autore del blog alla poesia di Trilussa, con la relativa traduzione.


E questa è la mia risposta (dice l'autore):


Risponne er matematico


Cari nummeri uno e zero
nun me pare così nero:
ma perché state a litiga'
su 'a fama che ve s'ha da da'?
Galuà, morto prima de 'o sviluppo,
co' voi dua c'ha fatto 'n gruppo:
si 'n intero sommi co' 'n intero
t'aritorna, ohibò, lo zero!*
E nun zolo! A 'sto monno,
(lo diceva puro mi' nonno)
zzeppo cormo de stranezze,
voi dua sete l'uniche certezze.
Matematico so' nato
informatico diventato:
zeri e uni, pe' ogni dove,
e su questo nun ce piove!
Ecco, mo' ve lo dicemo:
senza voi, 'ndo se mettemo?
Lo diceva puro Pitagora
co' 'r supporto de Anassagora;
er principio de l'univerzo
sta ner contrasto der diverzo:
omo e donna, bianco e nero,
er pesante co' 'r leggero,
poco e tanto, tutto e gnente,
giorno e notte, luna e sole,
contrastante e coerente:
da l'opposti nasce 'a prole!
'Nzomma mo', tajamo corto:
nun se sa a chi da' torto!
Epperciò fate la pace:
er litigio nun ce piace.



Risponde il matematico


Cari numeri uno e zero
a me la situazione non pare grave:
perché litigate
sulla fama che vi spetta?
Galois, morto prima dell'età adulta,
con voi due ha fatto un gruppo:
se si somma un intero con un intero
il risultato, ohibò, è uno zero!*
E non basta! In questo mondo
(e lo sapevano i nostri nonni)
pieno ricolmo di stranezze,
voi due siete le uniche certezze.
Sono nato matematico,
divenuto informatico:
zeri e uni ovunque,
non c'è alcun dubbio!
Ecco, ve lo stiamo dicendo:
senza di voi, che fine faremmo?
Lo diceva anche Pitagora
con l'aiuto di Anassagora;
il principio dell'universo
sta nel contrasto degli opposti:
uomo e donna, bianco e nero,
il pesante con il leggero,
poco e tanto, tutto e niente,
giorno e notte, luna e sole,
il contrasto e la coerenza:
dagli opposti nasce il tutto!
Insomma, per farla breve:
non si sa a chi dare torto!
E dunque, fate pace:
il litigio non ci piace.


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