Matematicamente

sabato 26 aprile 2008

Felix Klein, Dentro La Storia Della Matematica

Cari ragazzi, amici e lettori,

oggi è il 25 Aprile, una data memorabile per la Storia italiana e per la nascita della democrazia nel nostro Paese. Su Scientificando ho pubblicato un articolo specifico "25 Aprile 2008, Per Ricordare". Ma il 25 Aprile ricorre anche la nascita di un grande matematico, Felix Christian Klein.

Riporto da Wikipedia: 180px-Felix_Klein"Felix Christian Klein (Düsseldorf25 aprile 1849 – Göttingen22 giugno 1925) è stato un matematico tedesco. È conosciuto soprattutto per i suoi contributi alla geometria non euclidea, ai collegamenti tra geometria e teoria dei gruppi e per alcuni risultati sulla teoria delle funzioni."

Nato il 25/4/1849, si compiace di mostrare che ogni elemento di questa data è il quadrato di un numero primo (rispettivamente 5, 2 e 43). Klein frequentò il Ginnasio a Düsseldorf. Dopo il diploma entra all'Università di Bonn e vi studia Matematica e Fisica tra il 1865 e il 1866. Aveva iniziato la sua carriera con l'intenzione di diventare un fisico. Nel 1866, mentre era ancora studente universitario, Julius Plücker gli offrì di essere suo assistente di laboratorio. Plucker aveva la cattedra di Matematica e Fisica sperimentale a Bonn, ma il suo interesse iniziava a radicarsi soprattutto nella Geometria. Klein conseguì il suo dottorato nel 1868, sotto la supervisione di Plucker, con una dissertazione intitolata Über die Transformation der allgemeinen Gleichung des zweiten Grades zwischen Linien-Koordinaten auf eine kanonische Form, sulla Geometria e le sue applicazioni alla meccanica. Nella sua dissertazione, Klein classifica le curve complesse di secondo grado, usando la teoria di Karl Weierstrass dei divisori elementari.

Uno degli oggetti più conosciuti, da lui studiati, è la bottiglia di Klein.

Sempre su Wikipedia, leggiamo:

La bottiglia di Klein è una superficie non-orientabile di genere 2, cioè una superficie per la quale non c'è distinzione fra "interno" ed "esterno". La bottiglia di Klein è stata descritta per la prima volta nel 1882 dal matematico tedesco Felix Klein. È strettamente correlata al nastro di Möbius e alle immersioni del piano proiettivo reale come la superficie di Boy.

Seguono alcune immagini della celebre bottiglia.


250px-Klein_bottle_svg Bottiglia di Klein ottenuta con del vetro.


240px-Acme_klein_bottlevetro

Nastro di Möbius ottenuto, dividendo la bottiglia di Klein.

180px-KleinBottle-02

E adesso una serie di link per saperne di più sulla bottiglia di Klein...troverete notizie anche curiose!
Alcune immagini e animazioni interattive sulla bottiglia di Klein 
(EN) Bottiglia di Klein su MathWorld 
(EN) Costruzione con foglio di carta  
(EN) Puzzle sulla bottiglia di Klein  
(EN) Costruzione della bottiglia di Klein (filmato avi)  
(EN) Immagini della bottiglia di Klein, di John Sullivan  
(EN) La bottiglia di Klein  
(EN) Origami che rappresentano la bottiglia di Klein  
(EN) Bottiglia di Klein lavorata a maglia 
La sigla EN, in parentesi, significa che le risorse sono in lingua inglese, ma sono intuitive e accessibili ugualmente!

Beh, fatemi sapere, se avete trovato di vostro gradimento l'articolo.

Lo so, lo so che questi sono argomenti ancora lontani dalla vostra portata, cari piccoli, ma intanto aprite la mente alla conoscenza di personaggi di tale calibro, che hanno scritto la storia della Matematica!

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Tre contributi sulla Topologia e sul nastro di MÖBIUS

[Risorse Video] Il nastro di Möbius

venerdì 25 aprile 2008

L'Ingegnere Matematico

Cari ragazzi, amici e lettori,


ecco a voi il secondo post di Gaetano, a completamento del precedente di alcuni giorni fa: "Scuola Italiana In Declino?". Come al solito il nostro amico ci offre delle "chicche" di prima mano.  


L'articolo, che ci presenta una nuova figura professionale, "L'Ingegnere Matematico" appunto, ci indica che forse un miglioramento è possibile nel panorama italiano della Formazione. Ma leggete carissimi ed esprimete il vostro punto di vista, al riguardo.


Grazie ancora una volta, caro Gaetano


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L'INGEGNERE MATEMATICO


SI PROFILA UNA NUOVA FIGURA PROFESSIONALE, QUELLA DI UN RICERCATORE PROVVISTO DI UNA SOLIDA PREPARAZIONE DI BASE PER PROGETTARE CON UNA MATEMATICA NON STANDARD.


Le applicazioni industriali hanno bisogno di studi
in grado di prevedere i rapporti di causa ed effetto.


misurazione


Nel lontano passato, il tempo e il suo scorrere avevano come simbolo la raffigurazione di Crono recante la clessidra, ma oggi sarebbe molto più adatta, e molto più in carattere con il progresso tecnologico, la linea di risonanza dell'atomo di cesio (il grafico in basso a destra, in figura). La vibrazione assolutamente costante dell'atomo di cesio, misurata con la complessa macchina visibile nella tavola, può infatti essere persino utilizzata per rilevare piccolissime irregolarità del moto dei pianeti (schema in alto, in figura) del sistema solare. [1]



PREVEDERE LE DEFORMAZIONI E IL COMPORTAMENTO DI UN MATERIALE DETERMINA IL SUCCESSO DI UN PRODOTTO


Tratto dall'articolo, “La matematica che migliora il gusto del caffè”,
del prof. Paolo Gregorelli, pubblicato sul Giornale di Brescia del 27/02/2008.



Mentre risuona ancora l'eco estiva dell'allarme Fioroni sul drammatico rapporto tra gli studenti italiani e la matematica, mentre i giornali scrivono di improbabili legami con il nostro Paese del premio Nobel per la medicina Capecchi, il delicato rapporto tra matematica e realtà si sta trasformando grazie ad una nuova, seria e fattiva interazione tra il mondo dell'università, quello della ricerca e quello dell'industria.


Si va cioè affermando una nuova figura professionale, quella del “matematico industriale”. Un matematico al servizio dell'impresa, un ricercatore provvisto di una solida preparazione di base, disposto a progettare con una matematica non standard, capace di adattarsi alle esigenze del committente e soprattutto aperto al dialogo con chi fatica a vedere l'utilità della matematica. Grazie al suo lavoro, un'azienda realizza lo studio della fattibilità, dell'ottimizzazione e della risoluzione dei processi industriali basandosi su modelli matematici in grado di cogliere ed identificare le proprietà salienti del problema affrontato, trascurando ciò che può essere considerato accessorio rispetto al fenomeno che si vuole descrivere.


Realizzare un modello matematico di un certo problema tecnico significa evitare esperimenti e test che molto spesso risultano pericolosi, difficili da realizzare o semplicemente troppo costosi.


Prendiamo per esempio il caso della Snamprogetti di Milano che brevettò, tempo addietro, un additivo che, aggiunto alla polvere di carbone macinata, permetteva di ottenere una sospensione di carbone in acqua a concentrazioni dell'ordine del 70 per cento in peso. La miscela di carbone non doveva sedirnentare durante lo stoccaggio e non doveva neanche modificarsi quando veniva spinta nelle condotte. La Snam aveva intenzione di realizzare in Siberia un carbonodotto di 250 chilometri, in cui l'additivo veniva bruciato direttamente in caldaia come un olio combustibile. Le prove in laboratorio avevano dimostrato che la miscela, spinta nel condotto, aumentava la sua resistenza provocando la sedimentazione del carbone sulle pareti, con conseguente rischio di ostruzione delle condotte stesse. Se il tubo si fosse otturato permanentemente, sarebbe stato necessario smontarlo e ripulirlo o addirittura, nella peggiore delle ipotesi, sostituirlo.


La Snam si rivolse allora a un team di chimici e matematici che cercarono di capire come evitare il fenomeno senza aumentare la percentuale di acqua o la quantità di additivo. Una volta analizzati i dati, i chimici stabilirono che la "miscela si comportava come un fluido non newtoniano con memoria, ovvero la sua viscosità dipendeva dall'ernergia dissipata durante il moto".


Il modello numerico costruito, che si basava su un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali, prevedeva una "distanza di sicurezza" al disotto della quale il pericolo di ostruzione non si verificava.


Un secondo esempio riguarda la Illycaffè di Trieste. Il suo presidente si rivolse alla Simai (Società Italiana d Matematica Applicata e Industriale) per costruire un modello matematico che ottimizzasse la temperatura dell'acqua, la pressione e la granulometria della polvere di caffè nel filtro delle macchlne per la preparazione del caffè espresso, in modo da ottenere la migliore tazza di caffè possibile.


I chimici e i matematici che si dedicarono alle fasi sperimentali del progetto scoprirono che l'acqua, infiltrandosi nella cialda di caffè, deformava il letto poroso di caffè e aveva effetti sulle proprietà del liquido in termini di densità e viscosità. Dopo aver deciso una serie di approssimazioni necessarie a ridurre la complessità del problema, i matematici arrivarono a trovare che il modello era descritto da un sistema di equazioni alle derivate parziali.


I due casi, appena descritti, spiegano il perché in certi Paesi come gli Stati Uniti e la Germania il ''matematico industriale" è sempre più ricercato e ben pagato.


In Inghilterra, è nata da poco la figura del "technological translator", il cui compito è fare da interfaccia tra gli scienziati che fanno ricerca per l'industria stessa.


E l'Italia?
In Italia, ci stiamo attrezzando. Esistono da qualche anno corsi di laurea in matematica applicata, presso alcuni dipartimenti di matematica e, al Politecnico di Milano, è attivo dal 2002 il corso di laurea in ingegneria matematica che ha come obiettivo quello di formare degli ingegneri capaci di rivelare gli schemi e strutture logiche sottostanti ogni fenomeno attraverso le metodologie offerte dai veri settori della matematica applicata.


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[1] Illustrazione e didascalia tratte dal libro, IL MONDO DELLA TECNICA, della serie di Mondadori Edizioni, I MONDI DELL'UOMO.


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lunedì 21 aprile 2008

Scuola Italiana In Declino?

Cari ragazzi e lettori, ecco a voi l'ennesimo, interessante articolo del nostro amico Gaetano. In verità, quanto segue costituisce la prima parte di un articolo, che sarà completato con un successivo post.


Vi invito a leggere con estrema attenzione e a lasciare i vostri attesi commenti, ai fini di una discussione costruttiva.


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SCUOLA ITALIANA IN DECLINO?



pinocc12


Illustrazione:


 dal film "PINOCCHIO" di Roberto Benigni, vedi Near Dark



«Scuola, gli studenti italiani sono i più somari in Europa». Riecheggia ancora questo titolo diffuso il 4 dicembre dell'anno scorso dai media. Lo ha rilevato il rapporto OCSE-Pisa. Piazzamenti allarmanti in matematica, scienze e lettura.
In particolare, viene detto per la cultura matematica:


«Italia al 38/mo posto (con 462 punti) della classifica che vede ai primi cinque posti Taiwan, Finlandia, Hong Kong, Corea e Olanda. Peggio dell'Italia, tra i paesi dell'Unione europea soltanto la Grecia che si posiziona al 39/mo posto e Bulgaria e Romania. Anche per la cultura matematica, come per la capacità di lettura, almeno un quarto degli studenti che hanno partecipato al progetto non ha raggiunto la “sufficienza” del secondo livello di conoscenza, classifica in cui siamo superati anche dalla Grecia. L'Italia, infatti, è fuori anche dalla “classifica” che vede almeno il 70% degli studenti raggiungere il secondo livello. Come per le altre due rilevazioni Ocse-Pisa, anche per quella matematica i risultati ottenuti nel 2006 sono peggiori di quelli del 2003. A differenza della classifica per capacità di lettura, per la matematica i ragazzi si sono comportati meglio delle loro colleghe studentesse».


Cari ragazzi, avete letto?


Forse non lo sapevate e la cosa vi turberà non poco, ma converrete che è piuttosto deludente la visione di questo quadro sullo stato della scuola italiana. Ed ora che ve l'ho detto, penserete fra voi, sconsolati: "Non bastava sapere che i cinesi sono più bravi di noi per via delle tabelline ridotte, a detta di quel professor Brian Butterworth!"


Ma non vi allarmate, non è proprio il caso di fare drammi, visto che avete un'insegnante di matematica e scienze così valente come la prof. Annarita Ruberto. Forse non è da prendere tutto per oro colato quanto suddetto, però neanche da sottovalutare e questo amareggia non solo voi ma anche me e tutti coloro che profondono le loro energie per tenere alto il prestigio della scuola italiana, fra docenti e studenti stessi.


Sapete piuttosto qual è la mia preoccupazione, che è quella di un opinionista dilettante che avrebbe voluto fare l'insegnante, invece di lavorare come tecnico nell'industria? Che, così come sembra che vadano le cose della scuola italiana, c'è rischio che non emergano genialità nel mondo della scienza e della matematica in particolare. E sappiamo che il mondo d'oggi, in particolare la nostra Nazione, ha assoluto  bisogno di loro per il progresso scientifico capace di far progredire di conseguenza le tecnologie industriali: di qui il rilancio dell'economia che fa vi fa perno. Se l'economia di una nazione va male vanno male tutte le altre attività pubbliche e private e così anche la scuola.


Tant'è che in Italia, purtroppo, anche l'economia fa la parte del somaro insieme alla scuola. Infatti, il 5 aprile ultimo scorso è stata diffusa la notizia sulle prime pagine di tutti i quotidiani che “In Italia è crescita zero”. “L'economia rallenta sempre piu' il passo e potrebbe chiudere l'anno verso crescita zero”.


Ma c'è dell'altro, perché a rendere più deprimente la situazione italiana si aggiunge che il tasso di natalità – mettiamo del 2007 – pari a 8,54 nascite/1000 di popolazione, è risultato inferiore al tasso di mortalità dello stesso anno, pari a 10,5 morti/1000 di popolazione. Questo significa che, restando inalterata questa statistica, ogni anno la popolazione decresce di 1,96/1000 di popolazione, cosa che, per quel che riguarda la scuola in discussione, può recare con sé certe probabilità a non far nascere bambini potenzialmente predisposti a diventare menti di privilegio, in aggiunta alla rilevata carenza scolastica italiana. Naturalmente, quest'ultima è una mia opinione che a livello di esperti può anche risultare opinabile.


Comunque incoraggia sapere che qualcosa si sta muovendo in Italia per fronteggiare lo stato carente della Pubblica Istruzione. Seguirà a tal uopo un articolo che ho preparato per voi e che piacerà leggere non solo a voi ragazzi ma anche ai lettori adulti per tirare su il morale depresso.


Gaetano


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mercoledì 16 aprile 2008

Applicazione Del Teorema Di Pitagora Al Quadrato E Al Rettangolo [Un Problema]

Cari amici e lettori,


pubblico un problema, svolto insieme agli alunni della classe  2°A, che riguarda l'applicazione del teorema di Pitagora al quadrato e al rettangolo.


Abbiamo fotografato con il cellulare lo svolgimento di Michele L. che ci è apparso più chiaro. Poichè l'idea è stata estemporanea, non abbiamo curato i dettagli; vi preghiamo, pertanto, di scusarci per le macchie di cancellina e qualche imprecisione formale.


In futuro, ci organizzeremo meglio.


Seguono le foto che "ritraggono" lo svolgimento del problema. Alla fine del post, potete scaricare, per una consultazione off line, le foto in una presentazione di Power Point.


Foto del testo del problema.


problema_1


Foto della matematizzazione del testo.


problema_2Foto della prima parte, relativa allo svolgimento.


problema_3Foto della seconda parte, relativa allo svolgimento.


problema_4


I ragazzi sono stati attentissimi e hanno partecipato tutti, apportando concretamente il loro contributo. Bravi ragazzi!


Ci auguriamo che apprezziate il nostro sforzo, anche se non è il massimo sotto l'aspetto della fotografia!


Scarica la presentazione in Power Point del problema >>


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sabato 12 aprile 2008

Il Teorema Di Pitagora: Simulazioni Dinamiche

Cari ragazzi delle 2° A e B, ho trovato in rete tre simulazioni dinamiche del Teorema di Pitagora. Il sito è inglese, ma il contenuto è intuitivo, quindi, non dovreste incontrare difficoltà.


Cliccando sul bottone "Play", si avvieranno le simulazioni, che possono esere ripetute quante volte si vuole.


Vi invito ad esplorarle perché sono istruttive e divertenti!


Segue uno screenshot della pagina web.


teorema_pitagora



Vai alle simulazioni >>


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Le Quattro Operazioni Con Excel [Esercitazione]

Cari ragazzi, questo è un post po' particolare perché dedicato a Maristella, una ragazzina di undici anni molto timida.


Non è un'alunna della nostra Scuola, ma segue i nostri blog assiduamente. Ama molto l'applicativo Excel, che molti di voi stanno studiando nelle ore del laboratorio informatico pomeridiano.


Mi ha chiesto di pubblicare una sua esercitazione sulle quattro operazioni, svolta con Excel e io ho acconsentito volentieri. Cara Maristella, colgo l'occasione per dirti che pubblicherò con piacere le tue esercitazioni future con Excel e non.


Scarica l'esercitazione con Excel >>


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Costruire Poligoni Regolari Con GeoGebra [Tutoriale In PPT]

Salve a tutti!


Accogliendo la richiesta di diversi colleghi, allego al post un tutoriale realizzato con Power Point, che illustra passo passo come costruire poligoni regolari, utilizzando il software GeoGebra.


Segue una immagine della prima slide, relativa al tutoriale.


prima_slide


 


Scarica il tutoriale in Power Point >>


Scarica il software GeoGebra >>


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lunedì 7 aprile 2008

Multipli E Divisori Di Un Numero Naturale

Salve a tutti, siamo Manuel M. e Filippo M. di 1° A.


In questo articolo, vi parleremo dei multipli e dei divisori di un numero naturale, un argomento che ci ha appassionato molto.
Dalla scuola elementare, conoscevamo già i divisori e i multipli di un numero, ma le nostre conoscenze erano piuttosto meccaniche. Adesso siamo andati più in profondità, comprendendo altri aspetti matematici più “astratti”, come dice la prof., e di carattere più generale.
Iniziamo.                                                    


  I multipli di un numero




Si dice MULTIPLO di un numero naturale a, diverso da zero, ogni numero naturale che si ottiene moltiplicando a per un numero qualsiasi della successione dei numeri naturali: [0,1,2,3,4...]


Es: 5*3 = 15,  dove 15 è multiplo di 5 secondo il numero 3.


Poiché la successione dei numeri naturali è infinita, anche i multipli di un numero sono infiniti.


Per esempio, i multipli di M(13) =  [0,13, 26, 39, 52...]



  • Lo zero è  multiplo di qualsiasi altro numero, pertanto, d’ora in avanti, lo ometteremo nello scrivere i multipli di un numero;).

  • I multipli di 2 costituiscono l’insieme dei numeri pari,tutti gli altri numeri costituiscono l’insieme dei numeri dispari.

  • Si stabilisce che lo 0 appartenga all’insieme dei numeri pari


Esempi:


Scriviamo i primi cinque multipli di 3 e i primi quattro multipli di 6.


M(3) = [3, 6, 9, 12, 15]


M(6) = [6, 12, 18, 24]



I divisori di un numero


Se un numero, diviso per un altro, dà come resto zero, diremo che il secondo è un divisore del primo e che il primo è divisibile per il secondo.


Es: 12 : 4 = 3   con  resto = 0


Se questo non succede, come nella divisione


20 : 8 = 2,  con resto = 4


diremo che 8 non è un divisore di 20 e che, pertanto, 20 non è divisibile per 8.


Consideriamo, adesso i divisori di 8, 12, 18:


D(8) = [1, 2, 4, 8]


D(12) = [1, 2, 3, 4, 6,12]


D(18) = [1, 2, 3 , 6, 9, 18]


Dagli esempi visti, possiamo concludere che:



  • I divisori di un numero sono sempre minori o uguali al numero.

  • Per trovare tutti i divisori di un numero, lo dividiamo per la successione dei numeri naturali, a partire dal numero stesso fino ad ottenere 1. I quozienti esatti rappresentano i divisori del numero.    


Esempi: determiniamo i divisori di 10, eseguendo le divisioni successive.


10 : 10 = 1  con  r = 0


10: 9 = 1     con r = 1


10 : 8 = 1    con r = 2


10 : 7 = 1    con r = 3


10 : 6 = 1    con r = 4


10 : 5 = 2    con r = 0


10 : 4 = 2    con r = 2


10 : 3 = 3    con r = 1


10 : 2 = 5    con r = 0


10 : 1 = 10  con r = 0


Considerando soltanto le divisioni con resto zero, ovvero i quozienti esatti, troveremo i divisori di 10.


Se applichiamo il metodo delle divisioni successive ai numeri 2 e 7, troveremo che questi hanno per divisori soltanto  l’unità e se stessi.


Questi numeri si dicono numeri primi.


Noi abbiamo finito. Ci sentiremo presto con i criteri di divisibilità.


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venerdì 4 aprile 2008

Il Perimetro Dei Poligoni [Learning Object]

Cari ragazzi di 1° A,


terminata nei giorni scorsi la trattazione delle proprietà generali dei poligoni, oggi abbiamo iniziato  lo studio dei triangoli, sui quali stiamo preparando un articolo.


Vi metto a disposizione un Learning Object (LO) dal titolo "Il perimetro dei poligoni", che potete scaricare sul vostro PC, a casa.


Il LO è facile e intuitivo. Leggete le pagine tutoriali, osservate con attenzione la simulazione dinamica, svolgete le esercitazioni interattive. Non mancano pagine di approfondimento e un sintetico glossario dei termini specifci. Insomma, credo che vi divertirete, consolidando e potenziando le vostre conoscenze.


Seguono alcune schermate illustrative del LO.


L'introduzione:


perimetri_1


Una pagina tutoriale:


perimetri_2_giusto


Una pagina di verifica interattiva:


perimetri_3


Una seconda pagina di verifica:


perimetri_4



Il file zippato che scaricherete, deve essere decompresso. Successivamente, lanciate il file html "start". Non c'è bisogno di installare niente perchè il LO è autoconsistente.


>> Scarica il Learning Object


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>> Scarica altri Learning Object su questo blog


>> La simmetria centrale (altro LO)



martedì 1 aprile 2008

Esploriamo Le Proprietà Degli Angoli Esterni Di Un Poligono (classe 1°)

Cari piccolini di 1° A,


abbiamo veramente svolto un gran lavoro in geometria, completando lo studio dei poligoni  e delle loro proprietà. Siamo ormai sul punto di esplorare le proprietà dei triangoli!


Prima di proseguire, ho pensato di scrivere due articoli, uno relativo agli angoli esterni e alle loro proprietà e il secondo relativo agli angoli interni (che seguirà a breve, spero ). Questa scelta scaturisce dalla considerazione che alcuni di voi sono stati assenti  ad alcune lezioni. Le vacanze di Pasqua hanno fatto, inoltre, la loro parte…e così ho pensato di fare una sintesi a beneficio di tutti.


Che cosa dite?  E’ una buona mossa?


Inizio, dando per assodato che conosciate la differenza tra gli angoli interni e quelli esterni di un poligono (ho già verificato!  ).


Esploriamo la prima proprietà.


Abbiamo definito l’angolo esterno di un poligono come l’angolo adiacente all’angolo interno (ricordate?). Come sapete, due angoli adiacenti sono sempre supplementari: ne consegue che, in un poligono, ogni angolo esterno è il supplementare dell’angolo interno ad esso adiacente.

angoloesternoOsservate bene la figura a sinistra. Si vede con chiarezza vero? Se nutrite qualche dubbio, misurate i due angoli con il goniometro e verificherete che:


angolo esterno  + angolo interno  =  180°


Tale proprietà consente  di  trovare


a) la misura dell’angolo esterno quando conoscete quella dell’angolo interno:

angolo esterno  = 180° - angolo interno


b) la misura dell’ angolo interno  quando conoscete quella dell’angolo esterno:

angolo interno   = 180° - angolo esterno

E’  tutto chiaro? Non è difficile vero?
Passiamo alla seconda proprietà.
Osservate bene le figure seguenti, in cui gli angoli esterni sono stati evidenziati con colori diversi.

figure
Ritagliate gli angoli esterni del triangolo e disponeteli  l’uno consecutivo all’altro.

Procedete nello stesso modo con gli angoli esterni dell’esagono.
In entrambi i casi, constaterete che l’angolo somma ottenuto è un angolo giro!
Ripetete l’attività per un qualsiasi quadrilatero, un pentagonoun ottagono.
Otterrete sempre un angolo somma di 360°.
Concluderemo, pertanto, che la somma degli angoli esterni di un poligono qualsiasi è un valore costante e indipendente dal numero dei lati.  La misura di tale somma è sempre un angolo giro:
Somma degli angoli esterni di un poligono  =  360°

Non appena  possibile, allegherò, ad un post,  alcuni esercizi  per il controllo di quanto avete appreso.
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