Matematicamente

venerdì 29 febbraio 2008

Competenti E Incompetenti Con I Numeri

Cari ragazzi, amici e lettori,

Il nostro amico Gaetano Barbella ci propone un ulteriore interessantissimo articolo sui temi della competenza/incompetenza matematica, come seguito dei due precedenti post:  "Tabelline e Didattica" e "Intelligenza Matematica".

In particolare, voi ragazzi, leggete con attenzione e postate le vostre attese riflessioni e considerazioni tramite i commenti.

Grazie ancora una volta, Gaetano!


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COMPETENTI E INCOMPETENTI CON I NUMERI
Tratto dal libro “Intelligenza matematica” di Brian Butterworth
Edizione Rizzoli 1999



Presentazione


La pubblicazione del post “Intelligenza matematica”, mi permette di presentarne un altro che certamente piacerà a tutti i frequentatori di questo blog di matematica, che sono tanti, perchè si parla sui “Competenti e incompetenti con i numeri”. Interessante no?

È stato utile occuparci delle tabelline perché ha rotto un certo incantesimo che faceva sì che molte persone fra giovanissimi e adulti, avessero quasi paura della matematica. E così si è destato, come un'esplosione gioiosa, un interesse per essa in tante ragazze e ragazzi soprattutto che, sorprendentemente, hanno fatto a gara intervenendo con molto entusiasmo e raziocinio.

Ho provato grande piacere nel costatare di aver proposto un intelligente articolo cui ha fatto seguito il successivo, “Intelligenza matematica”, che mirava a far prendere dimestichezza di particolari concetti esibiti dall'autore del libro relativo, Brian Butterworth.
Questo non solo per il fatto in sé, ma anche perché sto per presentarvi, un altro articolo anch'esso tratto ancora dal suddetto libro, per il quale occorre che siano ben chiare le idee sui “moduli numerici” e “numerosità” che qui ricorreranno. Ma per semplificare la cosa è bene dare una ripassatina su questi concetti.

Butterworth afferma che l'abilità matematica nei bambini risulta compromessa quando i module numbers, i moduli numerici, non riescono a raggiungere il loro normale sviluppo. Ma cosa sono i moduli numerici chiamati in causa dal prof. Butterworth?
I “moduli numerici” sono le capacità matematiche di base che tutti noi possediamo sin dalla nascita, e sono collocate nel lobo parietale sinistro del cervello. Si tratta di una sorta di “kit di partenza” dal quale dipende tutto il successivo sviluppo delle nostre capacità matematiche: in esso è inclusa la capacità innata di riconoscere che un insieme di oggetti possiede una quantità esprimibile sotto forma di numero quella che Butterworth chiama, appunto una “numerosità” ordinata per grandezza: la “numerosità” quattro include la “numerosità” tre, la due la uno, e così via. Si nasce così con una facoltà che ci permette di identificare e comparare fra loro più “numerosità”. Oggi si hanno le prove che i bambini possiedono questa facoltà fin dai primi mesi di vita. Tuttavia si sospetta che alcune persone nascano effettivamente con moduli numerici difettosi, e per questo siano incapaci di usarla. Questi individui sono
affetti da “discalculia”, una malattia, della quale gli scienziati stanno cercando di identificarne il gene deputato alla costruzione della parte del cervello che presiede a questa capacità.
Sulla «numerosità» vale molto capire il concetto di numero. Butterworth a tal proposito dice che esistono diversi tipi di numeri. Innanzitutto ci sono le “numerosità”, che rispondono alla domanda “quanti?”. Ci sono poi i numeri ordinali, che ci aiutano a ordinare le cose in una successione comprensibile, e ancora i numeri di misurazione, come 3.467 chili, e infine i numeri usati come “etichette” per indicare i canali della televisione, il bancomat, il telefono e quant'altro. Tutti questi tipi di numeri hanno differenti proprietà. Per esempio, non ha senso dire che il mio numero telefonico è più grande del tuo, mentre ha senso dire che io ho più figli di te.

Sempre sulla «numerosità»: per capire meglio il concetto su cui si basa, rimando al menzionato post “Intelligenza matematica” di questo blog. In particolare ad un mio commento rilasciato al signor NixOS che aveva espresso una sua opinione sulla «numerosità», appunto.
A questo punto esaurita la ripassatina comincio a presentare l'articolo annunciato all'inizio. Auguro a tutti buona lettura, non senza ringraziare l'amica, la prof. Annarita Ruberto, per la sua amabile ospitalità in questo suo bel blog di matematica. Il vostro amico Gaetano
 

Introduzione


wilhunt1Perché certe persone sono brave con i mumeri e altre no? Nel film "Will Hunting, genio ribelle", il  protagonista, interpretato da Matt Damon, è un giovanotto che lavora come inserviente al MIT, la più prestigiosa Università scientifìca del mondo. Mentre lui pulisce e strofina, il professore di matematica dà alla classe un compito di fine semestre. Gli studenti hanno tutte le vacanze per trovare la soluzione e chi ci riuscirà avrà provato a se stesso di essere un eccezionale matematico in una classe di allievi già straordinari per il semplice fatto di essere iscritti al MIT. Dopo che l'aula si è svuotata, Will Hunting lascia da parte gli stracci e scrive la soluzione alla lavagna. Il giorno successivo, il professore, sbalordito, chiede al solutore di farsi avanti, ma ovviamente non si presenta nessuno. Alla fine scopre che è stato Will Hunting, il quale risulta essere un prodigio in matematica alla stregua di Ramanuhjan, il più grande di tutti. Tuttavia, invece di studiare per diventare un matematico, Will preferisce uscire a bere e a combinar guai con i suoi amici del vicinato. Il professore, pur essendo insignito di una medaglia Fields – una specie di premio Nobel per la matematica, solo che viene assegnata ogni quattro anni – ne è affascinato. «Non sono niente in confronto a questo ragazzo», ammette.
Allora, da dove viene il talento? Will cerca di spiegarlo alla sua ragazza. Si paragona a Mozart: «Guardava il piano... e lo sonava, ecco tutto. Anch'io potrei sempre suonare. È il modo migliore in cui te lo posso spiegare».

Ci sono due idee diametralmente opposte riguardo alle capacità matematiche. Stando ad una di esse, si tratta di natura: è un tipo di dote biologica – come essere dotati per la musica, forse. Stando all'altra, è questione di cultura: è tutto dovuto a un duro lavoro e al tipo di istruzione ricevuta. C'è anche ovviamente una sorta di via di mezzo: la capacità matematica contiene sia ingredienti naturali che culturali, in proporzioni variabili.
Come in tutte le capacità umane, in realtà ci sono due domande distinte. Perché sono un po' più bravo di Eric a fare le somme e un po' peggio di Diana? In altre parole, che cosa spiega la variazione di capacità nel 90 per cento della popolazione? Il secondo problema riguarda i casi estremi. Che cosa fa di certe persone l'effettivalente reale di Will Hunting e di altre l'esatto contrario? Un dono biologico per i numeri?

Pochi anni fa, i giornali riportarono la storia della (ri)scoperta del cervello di Einstein. Il suo lobo parietale sinistro aveva cellule disposte più densamente del normale. (...),questa è l'area del cervello profondamente coinvolta nei processi numerici. È stato il fatto di nascere con tutte queste cellule in più nel cervello a fare di lui un grande matematico? La teoria del talento biologico suonerebbe più o meno così: i nostri geni (e forse la nostra nutrizione nella vita intrauterina) determineranno il numero di neuroni che avremo nel lobo parietale alla nascita. Quelli che ne hanno di più saranno migliori in matematica di quelli che ne hanno di meno. L'idea sembra plausibile, ma non può essere provata semplicemente correlando il numero di neuroni parietali con le capacità numeriche. Queste ultime potrebbero essere la causa invece che la conseguenza del maggior numero di neuroni. In altre parole, il cervello potrebbe assegnare più neuroni parietali ai compiti numerici – o conservarne un maggior numero in attività (dal momento che i neuroni cominciano a morire fin dal giorno in cui nasciamo) – proprio perché quella parte del cervello viene costantemente «esercitata».

La seconda cosa importante da ricordare è che a portarci oltre le semplici numerosità è l'acquisizione di quelle che io chiamo «risorse culturali»: le parole per esprimere i numeri, le notazioni che usiamo per registrarli e manipolarli e la miriade di metodi e invenzioni che i nostri predecessori hanno donato alla matematica. Una delle cose che rende così improbabile Will Hunting, genio ribelle è che Will non sembra aver trascorso molto tempo ad acquisire queste risorse. Immaginate, se ci riuscite, di chiedere ad Archimede, il più grande matematico dell'antichità, di risolvere la seguente equazione:

2a^2 + 3ab − ab^2 = 0

Avrebbe meno possibilità di riuscirci di un quattordicenne odierno di media istruzione semplicemente perché non conoscerebbe il significato di quegli strani simboli inventati sette secoli dopo il suo assassinio; e neppure il + e il , invenzioni tedesche del 0, 2, 3, 4, XV° secolo; per non parlare del segno = inventato dall'inglese Robert Recorde nel sedicesimo secolo. Forse avrebbe dei problemi anche con l'idea che un'equazione possa avere radici negative. Per quanto riguarda il calcolo, poi, non ci sarebbe speranza.
Ovviamente Archimede avrebbe potuto imparare rapidamente, ma avrebbe dovuto comunque trascorrere del tempo a impadronirsi delle notazioni e ad aggiornarsi su idee che ai suoi tempi non erano in circolazione. E allora Will Hunting come avrebbe potuto, da solo, capire il problema che il professore aveva assegnato ai suoi alunni del MIT? Per quanto dotato, avrebbe dovuto trascorrere meno tempo a bere e di più a studiare.

Ecco una storiella che i matematici si divertono a raccontare:

«Un avvocato, un artista e un matematico discutono che cosa sia meglio: avere una moglie o un'amante? L'avvocato dice la moglie, sottolineando i vantaggi della legalità e della sicurezza. L'artista dice l'amante, enfatizzando il piacere della libertà. Il matematico dice: “Dovreste averle entrambe, così, quando ognuna delle due pensa che siete con l'altra, potete farvi un po' di matematica in santa pace”».


La mano del tintore


Ai matematici nulla piace di più che fare matematica e passare il maggior tempo possibile a farla. Anche gli idiots savants, [1] che sono calcolatori più che veri matematici, trascorrono un'eccezionale quantità di tempo a giocare con i numeri e a risolvere problemi, devono farlo perché c'è sempre moltissimo da imparare. Will Hunting non sembra far niente del genere e non ha nulla di questa passione caratteristica.
Io intendo sostenere che le differenze nelle capacità matematiche – purché il fondamentale Modulo Numerico si sia sviluppato normalmente nel nostro cervello – sono dovute unicamente all'acquisizione degli strumenti concettuali forniti dalla cultura.

La natura, grazie ai geni, fornisce l'equipaggiamento speciale, il Modulo Numerico; tutto il resto é addestramento. Per diventare bravi con i numeri bisogna immergevisi.

Questa è la teoria della «mano del tintore» [2]. Certo, penserete, c'era qualche differenza essenziale e innata tra i bambini della vostra classe, in particolare tra quelli che sembravano trovare facile la matematica e quelli per i quali essa era costantemente una lotta. In particolare, non nego che ci possano essere differenze nella capacità di concentrarsi nel lavoro o nel tipo di cose che si trovano interessanti.

La mia tesi è che non ci sia differenza nelle capacità specifiche innate per fare matematica. Variazioni normali e anormali.
Tutti gli esami di matematica mostrano che esiste una grande dispersione nel livello delle prestazioni, dal migliore al peggiore. Ci sono moltissimi motivi che spiegano perché i bambini vadano male agli esami. Alcuni arrivano a star male fisicamente; per altri, l'ansia è causa di pessimi risultati. C'è chi ha orribili esperienze di vita familiare e chi esperienze ugualmente orribili di vita scolastica.

C'è un test standard usato dal TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) utilizzato per il raffronto di tredicenni e di quattordicenni nelle scuole di 25 paesi (vedi Inserto 7.1). Perciò possiamo raffrontare differenze tra individui in uno stesso paese e tra paesi diversi. In Inghilterra, tolto il migliore e il peggiore 5 per cento dei quattordicenni, la differenza tra il peggiore e il migliore è di circa 300 punti
sulla scala TIMSS. Quanto di essa può essere attribuito a differenze naturali di talento e quanto all'acquisizione delle risorse culturali? Un indizio ci viene dal raffronto tra il paese migliore e il peggiore dell'elenco. Il punteggio medio dei bambini di Singapore (il paese migliore) è di circa 225 punti più alto del punteggio medio dei bambini del paese con la prestazione peggiore, la Repubblica Islamica dell'Iran. Ciò significa che il punteggio medio dei bambini iraniani equivale a quello del 5% peggiore dei giovanissimi di Singapore.
La differenza di prestazione media tra Singapore e l'Iran è sicuramente dovuta alla cultura. Non solo all'insegnamento ovviamente, ma all'atteggiamento nei confronti dell'apprendimento secolare, allo stato delle scuole, alla nutrizione, alla pace, alla guerra e così via. Le differenze tra i migliori studenti di Singapore e i migliori iraniani è ancora maggiore, il che indica come il sistema iraniano funzioni ancora peggio per gli studenti migliori che non per quelli di medio livello. Quanto più a lungo un cammino è esposto ai sistemi dei due paesi, tanto maggiore diventa il divario tra di loro. A nove anni – l'età minima testata dallo studio del TIMSS – la differenza è di 180 punti. Ci fosse stato un test per neonati, la differenza sarebbe stata zero!


Inserto 7.1: Problemi tratti dal TIMSS


Sono qui riportati alcuni esempi di domande poste ad adolescenti di tredici/quattordici anni. Alla fine di ciascun problema, è data la percentuale di tredicenni sottoposti a test che arrivarono alla risposta corretta e anche la percentuale riscontrata nel paese che totalizzò il punteggio più elevato.

1. Frazioni e senso del numero
A. Luke si allena correndo 5 km ogni giorno. II suo percorso è lungo 1/4 di Km.
Quante volte deve percorrerlo ogni giorno?
Risposta: ......
[Media internazionale: 42%; Paese migliore, 72%]

B. Teresa vuole registrare cinque canzoni su una cassetta. La lunghezza di ogni brano è mostrata nella tabella.
Brano Durata
1 2 minuti e 41 secondi
2 3 minuti e 10 secondi
3 2 minuti e 51 secondi
4
4 3 minuti
5 3 minuti e 32 secondi
Stimare al minuto più vicino il tempo totale necessario per registrare tutti i cinque brani, e spiegare come si è arrivati a questa stima.
Stima: .......
Spiegazione:
[Media internazionale: 31%; Paese migliore 74%].

2. Algebra
Se m rappresenta un numero positivo, quale di queste espressioni è equivalente a m+m+m+m?
A. m + 4
B. 4m
C. m^4
D. 4 (m + 1)

[Media internazionale 47 %; Paese migliore 77%]


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POST CORRELATI

- Intelligenza Matematica

- Tabelline e Matematica



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Note:
[1] – Si tratta di gemelli identici che, naturalmente, hanno gli stessi geni.
[2] – È un modo per dire che bisogna sporcarsi le mani, come il tintore che immerge la mano nella tintura per sincerarsi della buona tenuta della tinta.


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Video di YouTube dal film "Will Hunting, genio ribelle"



martedì 26 febbraio 2008

Potenza Di Un Numero Naturale [Learning Object]

Cari ragazzi, abbiamo già completato da un pezzettino lo studio delle potenze dei numeri naturali e stiamo attualmente esplorando il tema della divisibilità. Vi propongo, pertanto, come ripasso un Learning Object sulle potenze, che fruirete a scuola nel laboratorio informatico sotto la mia guida. Vi prego, quindi, di non aprirlo né scaricarlo.


Lascio qui il link per i docenti che volessero effettuarne il download e proporlo ai loro studenti.


Scarica il Learning Object.


Fornisco di seguito alcune informazioni minime.


Argomenti
Elevamento a potenza e casi particolari
Proprietà delle potenze


Obiettivi
Conoscere il concetto di potenza
Saper applicare l'operazione di elevamento a potenza di un numero naturale
Conoscere e applicare le proprietà delle potenze
Conoscere i casi particolari


Prerequisiti
Conoscenza delle quattro operazioni e delle loro proprietà
Conoscenza dei simboli dell'insiemistica


Segue una schermata del Learning Object.


potenza-numero-naturale


Consulta qui gli approfondimenti sui Learning Object e le modalità di navigazione.


Consiglio di leggere il post sino in fondo!


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- Altri learning object da scaricare: vai qui


- Altri post sulle potenze:


1. La Potenza ...Delle Potenze [Una Storia Vera?]


2. Il Concetto Di Potenza E Le Potenze Di Base 2

domenica 24 febbraio 2008

Copri Il Cerchio Rosso [Gioco Settimanale]

Cari ragazzi e visitatori, da oggi vi proporrò un gioco alla settimana per passare un po' del tempo divertendosi e affinando contemporaneamente alcune capacità mentali.


Il gioco si chiama "Cover The Red Spot" e consiste nel ricoprire interamente il cerchio rosso con 5 cerchi grigi più piccoli, trascinandoli con il mouse sul cerchio grande uno ad uno. Sembra una cosa semplice, ma non lo è mica tanto! Sono richieste: precisione, concentrazione, memorizzazione delle configurazioni, capacità visuo-spaziale, rapidità di esecuzione in quanto ai fini della classifica conta anche il minor tempo realizzato.


Io ho provato a giocare una decina di volte e sono arrivata a 99. 99! Altri sono riusciti a completare sino al 100%. Magari riproverò.


cover


Per giocare, non è necessario registrarsi al servizio. E' sufficiente  digitare un nick  a scelta e premere il tasto "go"... e via: gioca online andando a questo link! E' possibile riprovare cliccando sul bottone "Restart".

giovedì 21 febbraio 2008

Tra Musica e Matematica: Le Variazioni Goldberg

Cari ragazzi e lettori, riporto qui l'introduzione di un bell'articolo dell'amica animans che tratta la relazione tra due materie apparentemente dissimili, la Musica e la Matematica. Leggendo l'articolo, vi renderete conto, invece, che tra questi due ambiti della conoscenza ci sono più somiglianze e connessioni di quanto possiate immaginare.


Leggete tutto sino in fondo ed esprimete le vostre impressioni postando un commento.


Grazie!


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Le Variazioni Goldberg


Il Sublime tra Musica e Matematica


goldberg



Esiste una relazione fra fisica, matematica e musica? Per i pitagorici senza dubbio sì. Leibniz sosteneva che "la musica è l'esercizio matematico nascosto di una mente che calcola inconsciamente". Lorenz Christoph Mizler, un allievo di Bach,  diceva che "la musica è il suono della matematica". Qui di seguito J. S. Bach tra canoni e leggende.  


"La Società per le Scienze Musicali arrivò negli anni ad avere 19 membri, fra i quali Telemann e Haendel. Bach vi entrò nel giugno 1747: manco a dirlo, come quattordicesimo membro (anche nel 1747 il 14 compare due volte). Per l'ammissione bisognava produrre una composizione musicale di natura matematica, e presentare un ritratto: Bach prese due piccioni con una fava, presentando un ritratto che lo raffigura con lo spartito di un Canone triplo a sei voci in mano. Alla fine di ogni anno i membri della Società dovevano esibire una nuova composizione: nel 1747 Bach consegnò le Variazioni canoniche sul tema "Io scendo dalle stelle", nel 1748 l'Offerta musicale. Nel 1749 avrebbe voluto presentare l'Arte della fuga, che non riuscì a terminare per le sue condizioni di salute.


Insieme alle Variazioni Goldberg, queste opere costituiscono il suo testamento spirituale: una musica smaterializzata, costruita in base ad astratti princìpi di simmetria aritmetica e geometrica. Come già dice la parola, che significa "regola" o "legge", la forma musicale che più si presta a questo tipo di simmetria è il canone. Una serie di voci che si rincorrono, ripetendo la prima in forma traslata, riflessa o proporzionale. Le varie voci, benché tutte simili, possono cioè essere sincronizzate o sfalsate, più alte o più basse, parallele o speculari, più veloci o più lente.


Naturalmente, l'insieme deve risultare musicalmente sensato e gradevole: il che è tanto più difficile, quanto più le caratteristiche delle varie voci differiscono fra loro.


continua a leggere il post originale >>



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POST CHE VI POTREBBERO INTERESSARE


- La Geometria nell'Arte (1) (2) (3)


- Pitagora ascoltò la musica dei pianeti


- Pitagora colpisce ancora...


- Gerberto D'Aurillac: matematico o mago?


- Larte de Labbacho


- A proposito di enigmi...

mercoledì 20 febbraio 2008

BLOGROLL

Ho pensato di inserire in questo post i link ad altri siti e blog di natura non didattica, ma che reputo validi e interessanti, senza trascurare i blog dei miei amici.

Lo scopo è duplice: fare ordine nella home ed evitare possibili deviazioni di visitatori che, come risaputo, Google opera nei confronti di moltissime pagine web, siti o blog.
Questa pagina è raggiungibile cliccando nella colonna a destra, sotto la voce "Links", alla sezione BLOGROLL.



BLOG  AMICI

http://wwwgirovagando.blogspot.com
http://www.paolobarbarossa.com/
http://www.traffyk.com
http://casascuola.wordpress.com
http://albertocane.blogspot.com/
http://pinoamoruso.blogspot.com


ALTRI LINK INTERESSANTI


http://isoladiparole.blogspot.com
http://www.mentecritica.net/



La Nascita Dei Numeri Irrazionali: Ippaso Di Metaponto

Cari ragazzi, amici e lettori,


Riporto di seguito l'introduzione di un interessante articolo dell'amico Michelangelo, relativo alla nascita dei numeri irrazionali.


Il tema è pertinente allo studio dell'operazione di estrazione di radice, che abbiamo iniziato da poco, e fornisce un input accattivante, aprendo una finestra sulla genesi dei numeri irrazionali, numeri ostici come vedremo...ma noi ce li faremo piacere, vero ragazzi;)


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Ippaso di Metaponto: la nascita dei numeri irrazionali


pitagora_thumbnail



Il motto di Pitagora sembrava la chiave per svelare i segreti dell’universo, i numeri ed i loro rapporti. Ma il cammino della conoscenza non è mai troppo facile, anzi è impervio ed insidioso. E così saltò fuori un bel problema.


Ci si accorse, a partire dalla semplice figura del quadrato, che il lato e la diagonale avevano lunghezze che non erano esprimibili attraverso un rapporto di due numeri interi. Erano dunque incommensurabili.


Fu un vero e proprio terremoto. Come reagirono i pitagorici? Sicuramente l’atteggiamento non fu dei più lodevoli. Continuarono a divulgare le loro teorie, cercando di tenere nascosto tale aspetto. Magari prima o poi si sarebbe trovata una soluzione, quindi meglio non divulgare la cosa. Ma come spesso succedere, prima o poi la verità viene a galla. E qualcuno parlò.



Il “traditore” fu Ippaso di Metaponto.


Continua a leggere il post originale>>

giovedì 14 febbraio 2008

Intelligenza Matematica

Cari ragazzi,


in questo post il nostro amico Gaetano Barbella ci fornisce delle utili e significative informazioni sul libro "Intelligenza Matematica" da cui è stato tratto il brano del post sulle "Tabelline e Didattica", che ha suscitato il vostro interesse sincero e che è stato molto apprezzato da grandi e piccini.


Grazie, come sempre, Gaetano!


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intelligenza matematica

UN LIBRO DA LEGGERE «UN'OPERA RICCA, IMPORTANTE E PIENA DI FASCINO»


INTELL_MAT1Numeri per contare cose visibili e invisibili, numeri per indicare frazioni di un intero, numeri per ordinare le cose in sequenza (come quelli delle date), numeri che sono semplici segni (come i numeri del telefono)... Ne usiamo migliaia ogni giorno, e la nostra vita sarebbe inconcepibile senza di essi.
Come diceva Adam Smith, i numeri sono «fra le idee più astratte che la mente umana è in grado di formulare». Eppure, la capacità di contare è
universale: la possiedono anche i popoli il cui vocabolario matematico si riduce a «uno», «due» e «molti». Da dove viene allora questa capacità? È qualcosa che si apprende o è innata come il linguaggio e la facoltà di vedere i colori? E come esistono individui daltonici, ci sono persone incapaci di «vedere i numeri» cioè di percepire le differenze di quantità? II saggio brillante e innovativo del neuroscienziato inglese Brian Butterworth illustra le caratteristiche e le potenzialità dell'intelligenza matematica, il bagaglio genetico innato che fa sì che anche bambini di poche settimane sappiano «contare» e i metodi per insegnare con efficacia la matematica, liberando le facoltà naturali della nostra mente. Butterworth conduce il lettore in un viaggio appassionante attraverso la storia, l'antropologia, le neuroscienze,
l'aritmetica e la teoria dei numeri, dalle caverne preistoriche alle foreste della
Nuova Guinea, tra geni naturali, idiots savants, laureati in materie scientifiche costretti a contare sulle dita per fare un'addizione e persone che dopo un ictus non possono più concepire nessun numero superiore a quattro. Intelligenza matematica non è solo una rassegna delle più recenti scoperte delle neuroscienze relative al funzionamento del cervello umano, un prontuario di storia della matematica, un manuale pratico per scoprire e applicare i fondamenti del calcolo: è, prima di tutto, una ricchissima e sorprendente raccolta di storie e figure memorabili, un tributo entusiasta all'affascinante mondo dei numeri.


IL DIVERTIMENTO IN MATEMATICA


Si è visto quanto riserba, di illuminante, l'innocente tabellina aritmetica sul tema della didattica. Chi poteva immaginare che dal suo “buon uso” dipende addirittura lo sviluppo, in un bambino, delle potenzialità intellettive matematiche? Da noi si comincia a far dire ai bambini 1 per 1, 1; 1 per 2, 2; e così via. Ma si scopre che in questo modo è tempo sprecato. In Cina non si comincia da qui ma si passa alle moltiplicazioni col 2. E questo è niente perchè vi sono ben altre semplificazioni come si è visto!


Insomma – è dura da accettare – fatto sta che i cinesi sono più avanti dell'Occidente in tema di intelligenza matematica.


Il professor Brian Butterworth*, l'autore del libro che ho posto in bella vista all'inizio di questo scritto, dal quale ho tratto il brano sulle tabelline, messo in mostra dall'amica Annarita su questo blog, presenta con vividezza i suoi temi fra cui anche questo sulle tabelline.


Egli in generale dice delle cose che colpiscono e che non si immaginavano. Per esempio sapevate che «la maggior parte di chi ritiene di non avere abilità matematica è vittima di cattivi maestri»? E «Solo il 5 per cento delle persone è affetta dadiscalculia”, ovvero incapacità genetica di avere a che fare con i numeri».


Allo scienziato Butterworth preme però una cosa, il divertimento in matematica e per questo si avvale di una frase di Martin Gardner, il decano dei divulgatori di matematica, che ne teneva in gran conto, e la rivolge ai docenti. È questa: «Un insegnante di matematica, indipendentemente da quanto ami la sua materia e da quanto vigore metta nel suo desiderio di comunicarla, deve sempre affrontare una difficoltà soverchiante: come tenere svegli gli studenti. Mi è sempre sembrato che il modo migliore per rendere interessante la matematica agli studenti e ai profani sia quello di accostarvisi con uno spirito giocoso. Sta di fatto che il miglior modo di tener sveglio uno studente è presentargli giochi matematici interessanti, enigmi, trucchi, battute, paradossi, modelli, limerick o una qualsiasi delle centinaia di cose che gli insegnanti ottusi tendono a evitare perché paiono loro frivole».


Interessante, anzi affascinante, e se no com'è possibile far sviluppare nel miglior modo la creatura in noi, la piccola matematica, quando si nasce! Infatti da buon maestro, il professor Butterworth, taglia corto, affermando decisamente che «nasciamo già col senso dei numeri».


A questo punto, alletta sapere di più, e in profondità, di questo emerito scienziato. Sul suo libro, attraverso la recensione iniziale accanto alla relativa copertina, si ha già l'idea di che si tratta. E già questo ci dice tanto di meraviglioso su di lui, ma dispongo di qualcosa di meglio che ora mi appresto a riportare di seguito, poi se vi va potrete leggere tutto dal libro stesso.


È un articolo del Giornale di Brescia del 10 settembre 2002, la firma e di Emiliano Ippolito. Si tratta di una sua intervista al professor Brian Butterworth in occasione di due convegni tenuti a Roma sulla matematica cognitiva.


IL GENE DELLA MATEMATICA


Com'è possibile che un ominide dotato di un cervello lento e pletorico, che viveva nelle caverne, si sia evoluto fino a manipolare contenuti intellettuali complessi come la teoria dei gruppi e la topologia? Esistono aree del cervello che presiedono alle operazioni matematiche? Nel Dna si annidano geni deputati alla costruzione di queste aree? E infine, i numeri intervengono in ogni nostra esperienza mentale, compresi i sogni e le attività apparentemente irrazionali?


A questa e ad altre cruciali domande, cercheranno di dare una risposta i maggiori esperti internazionali di neurobiologia, filosofia della mente e processi cognitivi che parteciperanno al convegno «The cognitive foundation of mathematics» (La fondazione cognitiva della matematica) organizzato a Roma oggi e domani dall'Università La Sapienza e dall'Ecole Nationale Supérieure di Parigi.


Al convegno, insieme ad altri scienziati di fama internazionale come il linguista americano George Lakon, il matematico Keith Devlin – autore per Longanesi del recente saggio «Il gene della matematica» – e il filosofo della matematica Marcus Giaquinto, sarà presente l'inglese Brian Butterworth, tra i più brillanti esponenti delle neuroscienze cognitive, autore del libro «L'intelligenza matematica» (Rizzoli, 1999).


Prof. Butterworth, molte persone sono convinte di non «essere portate» per la matematica...


«La maggior parte delle persone che avvertono una mancanza di abilità matematica, in realtà, hanno semplicemente ricevuto un insegnamenio sbagliato. Per timore di apparire stupidi, i ragazzi finiscono per evitare la matematica, perdendo così preziose occasioni per imparare. In realtà, cifre alla mano, possiamo affermare che solo il 5 per cento della popolazione mondiale soffre di una "discalculia" ereditaria, ovvero di un'incapacità genetica di avere a che fare con numeri e operazioni aritmetiche. E questo avviene quando i module numbers, i moduli numerici, non riescono a raggiungere il loro normale sviluppo».


Cosa sono i «moduli numerici»?


«Sono le capacità matematiche di base che tutti noi possediamo sin dalla nascita, e sono collocate nel lobo parietale sinistro del cervello. Si tratta di una sorta di "kit di partenza" dal quale dipende tutto il successivo sviluppo delle nostre capacità matematiche: in esso è inclusa la capacità innata di riconoscere che un insieme di oggetti possiede una quantità esprimibile sotto forma di numero quella che io chiamo una "numerosità" ordinata per grandezza: la "numerosità" quattro include la "numerosità" tre, la due la uno, e così via. Noi nasciamo con una facoltà che ci permette di identificare e comparare fra loro più "numerosità". Oggi abbiamo le prove che i bambini possiedono questa facoltà fin dai primi mesi di vita. Tuttavia sospettiamo che alcune persone nascano effettivamente con moduli numerici difettosi, e per questo siano incapaci di usarla. Questi individui sono affetti, come ho detto prima, da "discalculia". Con altri scienziati stiamo cercando di identificare il gene deputato alla costruzione della parte del cervello che presiede a questa capacità».


Se noi tutti possediamo una «mente matematica» innata, perché le persone hanno differenti capacità matematiche?


«Lasciando da parte la "discalculia", le principali ragioni sono la qualità dell'insegnamento ricevuta e la cultura in cui ci si è formati. Un ruolo non indifferente è rivestito anche dalla lingua. Alcune lingue rendono più semplice capire il sistema numerico in base dieci: per dire undici, infatti, dicono dieci uno, e così via. Avviene così, ad esempio, nel cinese e nel Giapponese, e non a caso i bambini che parlano queste lingue risultano regolarmente i migliori nelle competizioni internazionali matematiche».


Professore, come definirebbe il concetto di numero?


«Esistono diversi tipi di numeri. Innanzitutto ci sono le "numerosità", che ripondono alla domanda "quanti?". Ci sono poi i numeri ordinali, che ci aiutano a ordinare le cose in una successione comprensibile, e ancora i numeri di misurazione, come 3.467 chili, e infine i numeri usati come "etichette" per indicare i canali della televisione, il bancomat, il telefono e quant'altro. Tutti questi tipi di numeri hanno differenti proprietà. Per esempio, non ha senso dire che il mio numero telefonico è più grande del tuo, mentre ha senso dire che io ho più figli di te».


Qual è la relazione tra il nostro hardware matematico di base e la matematica astratta?


«Non solo esiste un hardware deputato all 'esercizio delle facoltà matematiche, ma recenti studi sembrano dimostrare che a diversi gradi di astrazione della matematica corrispondano diverse aree del nostro cervello. La matematica diviene tanto più astratta quanto più si sviluppano i modi di rappresentare le relazioni tra numeri, le relazioni tra relazioni tra numeri, e così via. Col mio gruppo di ricerca ho studiato che individui, non affatto bravi in aritmetica, si rivelano invece straordinariamente portati per l'algebra, che è una branca molto più astratta della matematica. Ricordo ad esempio il caso di un paziente che, a causa di alcune lesioni cerebrali, aveva perso la capacità di operare sui numeri, e tuttavia era in grado di risolvere brillantemente complesse equazioni algebriche».


Gaetano Barbella


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* Brian Butterworth è professore di neuropsicologia cognitiva all'University College di Londra. Ha lavorato a Cambridge, Melbourne, Padova, Trieste, al Massachusetts Institute of Technology e al MaxPlanckInstitut di Nijmegen. Ha fondato e dirige la rivista accademica «Mathematical Cognition». È autore di numerosi saggi scientifici.


sabato 9 febbraio 2008

Il Concetto Di Potenza E Le Potenze Di Base 2

Salve a tutti!! Siamo tre ragazze della classe 1°A, Martina D. P., Alice R. e Arianna G.
In questo post, vi illustreremo il concetto di potenza con i numeri naturali, affrontato in classe.


Prima di cominciare vi ricordiamo il post di Alessandro, dove abbiamo visto che la leggenda fa cominciare la storia dell’elevazione a potenza dal… gioco degli scacchi.


In classe, abbiamo considerato due tipi di prodotto:
 
3 x 10 x 5 x 2 = 300   è un prodotto di fattori diversi tra loro
2 x 2 x 2 x 2 x 2= 32  è un prodotto di 5 fattori uguali.


In  questo secondo caso, per semplificarne la scrittura scriviamo il prodotto con un simbolo: la potenza.
Pertanto, si scrive:


2 x 2 x 2 x 2 x 2= 2^5  si legge 2 alla quinta o due elevato alla quinta


4 x 4 x 4 = 64 = 4^3    si legge 4 alla terza o 4 elevato alla terza


Possiamo quindi affermare che: 


LA POTENZA è una moltiplicazione particolare in cui i fattori sono uguali. Il fattore moltiplicato ripetutamente si chiama BASE; il numero di volte per cui viene moltiplicata la base si chiama ESPONENTE.


DEFINIZIONE:
Si definisce POTENZA di base ( a ) ed esponente ( n ) il numero b ottenuto moltiplicando a tante volte quante ne indica n.
Scriveremo:


a^n= b


I CASI PARTICOLARI


1° CASO:


7^1  = 7
5^1  = 5
3^ 1 = 3


Generalizzando:
 a^1= a
Qualunque potenza, con esponente 1, è uguale alla base.


2° CASO:


0^1 = 0                                           
0^2 = 0 X 0= 0
0^3 = 0 x 0 x 0= 0
0^4 = 0 x 0 x 0 x 0= 0
     
quindi
0^n = 0    


3° CASO:


1^2= 1X1=1 
1^3= 1X1X1= 1  
1^4= 1X1X1X1= 1^4
  quindi


1^n = 1


La potenza di 1 è sempre uguale a 1                                                                                                
                                                                                                           
4° CASO:


3° = 1                                          a° = 1
4° = 1
5° = 1
6° = 1


Qualunque sia la base di una potenza, se il suo esponente è   
zero (0)  il valore della potenza è 1.


La prof. ha detto che questo ultimo caso lo comprenderemo bene quando affronteremo la divisione di potenze di ugual base e uguale esponente.


Bisogna fare attenzione: non si può scambiare la base con l’esponente!


Per esempio,  2^3= 8  mentre 3^2= 9


Pertanto, la proprietà commutativa non vale.


LE POTENZE DI BASE 2


Ricordando la leggenda di Sessa e del gioco degli scacchi, la richiesta dei chicchi di grano al re di Persia può essere ben rappresentata dalle potenze di base 2, in questo modo:


tabellagrano


E’ interessante rappresentare le potenze di base due con un disegno. L’immagine che vedete è l’albero del 2, dove 2 è la base dalla quale germogliano le potenze, come i rami di un albero dalla radice.


alberodel2


E’ come l’albero genealogico della famiglia: ognuno, infatti, ha un padre e una madre, ma anche i nostri genitori, a loro volta, hanno due genitori, che sono i quattro nonni, e i nonni hanno a loro volta due genitori ciascuno…e così via.


Ciao e alla prossima!


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POST CORRELATI


La Potenza ...Delle Potenze [Una Storia Vera?]


RISORSE FREE IN RETE


Proprietà delle potenze con la stessa base o con lo stesso esponente

mercoledì 6 febbraio 2008

Tabelline e Didattica

Cari ragazzi e visitatori,


vi propongo un interessante articolo che mi è stato fornito dall'amico Gaetano Barbella. Tratto dal libro "Intelligenza matematica", apre una finestra sulle difficoltà incontrate dai nostri studenti (e non solo) in ambito matematico. Vi consiglio di leggere con attenzione!


*****


DIDATTICA SULLE TABELLINE


Tratto dal libro Intelligenza matematica
di Brian Butterworth, (1) edizione Rizzoli.
Pagg. da 315 a 317.


Nei raffronti internazionali di competenze matematiche, di gran lunga i migliori sono i cinesi. Il segreto può anche essere nel fatto che i bambini cinesi imparano a memoria una tabellina ridotta.


tabel


Tabelline. Di tutte le miriadi di dati aritmetici, le tabelline sono particolarmente amate dagli «esperti» dell'istruzione. In questo caso possiamo imparare una cosa da Thorndike (2): l'importanza di rendere remunerativo – cioè piacevole – l'apprendimento a memoria.
Per i lettori che hanno dimenticato come si imparano le tabelline o che hanno frequentato una scuola in cui non venivano imposte, ecco qui una descrizione di quello che succede in realtà.


I bambini cominciano a recitare la tabellina del due: «Uno per due, due; due per due, quattro; tre per due, sei; quattro per due, otto» e così via. Quando riescono a recitare questa tabellina alla perfezione, di solito passano a quella del tre, anche se in certe scuole si salta direttamente a quella del cinque, dal momento che si pensa che quest'ultima sia più facile da imparare di quella del tre o del quattro.
L'idea è che a una certa età, di solito otto o nove anni, i bambini dovranno essere in grado di recitare impeccabilmente le tabelline fino al dieci, anche se ai miei tempi dovevamo arrivare fino a quella del dodici, dal momento che ci sono dodici pence in uno scellino.


Un bambino a cui avevo chiesto di recitarmi le tabelline, snocciolò correttamente quella del due, ma rimase perplesso quando gli chiesi quanto facesse, 6 x 2. Il fatto che fosse capace di recitare la sequenza non significava che avesse capito che cosa significassero i componenti della sequenza stessa.
Un'altra bambina a cui feci la stessa domanda riuscì a recitare sia quella del due che quella del tre e rispose a un'altra mia domanda: «Quanto fa 5 x 3?». Dopo un po' le chiesi: «Quanto fa 3 x 5?» Guardandomi con aria di rimprovero mi redarguì: «Non abbiamo ancora imparato la tabellina del cinque». Aveva indubbiamente imparato a rispondere alle prime due domande.


Ma è possibile – anche se non ne ho la prova diretta – che la sua comprensione della proprietà commutativa della moltiplicazione fosse stata ritardata dal fatto di essere stata costretta a imparare 3 x 5 = 15 e 5 x 3 = 15 come dati del tutto separati.
Ci sono tuttavia prove indirette.
Nei raffronti internazionali di competenze matematiche, di gran lunga i migliori sono i cinesi, quelli della Repubblica popolare, di Taiwan e di Singapore. In uno studio recente (3), la prestazione media nei test standardizzati dei bambini statunitensi di dodici anni si collocava all'11 per cento rispetto al campione di Shanghai.


Questo significa che 1'89 per cento dei bambini di Shanghai era migliore dello scolaro americano medio. In effetti i bambini dodicenni di Shanghai davano prestazioni simili a quelle dei ragazzi statunitensi di diciassette anni. Ovviamente questi test comportano ben di più di semplici moltiplicazioni, ma val la pena di osservare come il sistema scolastico cinese, relativamente positivo, affronti la moltiplicazione.
Costringono forse i bambini a recitare le tabelline fino a nove per nove? No, non fanno così. Tanto per cominciare, i bambini non devono imparare la tabellina dell'uno. In secondo luogo, non imparano 3 x 5 e 5 x 3 . Imparano 5 x 3 nella tabellina del tre, ma la tabellina del cinque comincia dal 5 x 5, che ovviamente non rientra nelle tabelline precedenti del due, del tre e del quattro. (...)
Questo metodo non solo riduce il carico mnemonico da 81 a 36 dati, ma aiuta il bambino a capire che 3 x 5 e 5 x 3 sono equivalenti. Perciò non stupisce che quando LeFevre e Liu, psicologi alla Carleton University di Ottawa, raffrontarono le capacità di moltiplicazione degli studenti adulti cinesi e canadesi, i primi fossero risultati più rapidi e accurati.
Può darsi che l'apprendimento a memoria della tabellina del tre e dell'otto possa condurre alla comprensione di 8 x 3 = 3 x 8. Potrebbe servire come una scala che conduca alla comprensione e che poi possa essere gettata via. Ma perché non cominciare assicurandosi che tutti i passaggi dell'apprendimento abbiano un significato?




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Note:

1.Brian Butterworth è professore di neuropsicologia cognitiva all'University College di Londra. Ha lavorato a Cambridge, Melbourne, Padova, Trieste, al Massachussetts Institute of Technology a la Max-Planck-Institut di Nijmegen. Ha fondato e dirige la rivista accademica «Mathematical Cognition». È autore di numerosi saggi scientifici.
2.Edward L. Thorndike, è uno psicologo americano che ha pubblicato nel 1922 un libro piccolo ma autorevole, The Psichology of Artimetic. Vi sosteneva che la chiave dell'apprendimento di qualsiasi competenza fosse la «formazione dei legami associativi»: nel caso dell'aritmetica, i legami tra problemi e soluzioni – per esempio il legame tra 3 + 3 e 6. Il problema collegato alla soluzione è un dato aritmetico e l'apprendimento dei dati era il centro dell'approccio di Thorndike.
3.Notare che il libro, da cui è tratto questo brano, è stato finito di stampare nel 1999.

domenica 3 febbraio 2008

Pitagora Colpisce Ancora...

Cari ragazzi, amici e visitatori,


vi segnalo due interessanti  post su Pitagora.


Il primo è dell'amica animans. Vi riporto l'introduzione, invitandovi a leggere l'originale al link sotto indicato.


 "Benché sia quasi impossibile attribuire con certezza qualsivolgia conquista matematica sia a Pitagora sia ai suoi discepoli non v'è dubbio che siano stati loro a mescolare teoria dei numeri, filosofia della vita e misticismo in una misura forse senza uguli. E a tale proposito, non è privo di interesse il fatto che Pitagora fosse contemporaneo di altri fondatori di grandi religioni quali Buddha e Confucio.


frattale1


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Il secondo è dell'amico Michelangelo.


"Sicuramente uno dei matematici più noti, Pitagora di Samo, è anche una delle figure più misteriose e controverse dell’antichità. Visse nel VI secolo a. C., ma non esiste nessun trattato scritto di suo pugno e molte delle storie sul suo conto oscillano tra verità e leggenda.



Pare che viaggiò molto: secondo alcuni si spinse fino in India ed anche in Bretagna. E’ comunque certo che ebbe modo di conoscere ed approfondire la matematica egiziana e babilonese. A Samo trovò grandi difficoltà a fondare una scuola in una città ottenebrata dalla tirannia di Policrate. Così fuggì in Italia e l’incontro con Milone fu idilliaco. Si rivelò infatti un patrono ideale: un grande atleta, campione dei giochi olimpici, ma amante anche della filosofia, finanziò la scuola di Pitagora.


Nacque il Sodalizio pitagorico: più che una scuola, fu quasi una setta, una setta di “filosofi”, nuova parola, coniata da Pitagora. Le scoperte della scuola erano assolutamente segrete, il linguaggio cifrato."


pitagora_thumbnail


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venerdì 1 febbraio 2008

[ Phit ] Sbloccati I Livelli Dal 25 Al 30

Salve! Ricordate Phit, il puzzle geometrico? Ebbene, Filippo M. di 1°A ha sbloccato i livelli del gioco: 25-26-27-28-29-30. Non pubblico in questo post la schermata del livello 26 perché è più facile degli altri.


Se siete però interessati, fatelo sapere mediante i commenti.


Metto, pertanto, a disposizione di quanti fossero interessati le schermate risolutive dei livelli citati.


Bravo, Filippo!


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