Matematicamente

mercoledì 12 novembre 2008

La Matematica Come La Poesia

matematicadivertente-1Cari lettori, eccomi con un'altra segnalazione che volevo fare da tempo. Si tratta di un prezioso contributo dell'amico Mauro, che viene ad arricchire questo blog!

Grazie, Mauro.

Scrive Mauro:

Mi sono accorto che nel post precedente intitolato "Che cos'è la matematica?" ho finito per parlare di me stesso, più che dell'argomento del titolo, e allora faccio ammenda con questo post. Inizio con qualche citazione, più o meno celebre.

Come espressione della mente umana, la matematica riflette la volontà attiva, la ragione contemplativa e il desiderio di perfezione estetica. I suoi elementi sono la logica e l’intuizione, l’analisi e la costruzione, la generalità e l'individualità.
(
R. Courant, H, Robbins, Che cos'è la matematica?, Boringhieri, 1971)

La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.
(Galileo Galilei, Il saggiatore)

A quelli che non conoscono la matematica è difficile percepire come una sensazione reale la bellezza, la profonda bellezza della natura... Se volete conoscere la natura, apprezzarla, è necessario comprendere il linguaggio che essa parla.
(
R. Feynman, The Character of Physical Law)

La matematica è generalmente considerata come agli antipodi della poesia. Eppure la matematica e la poesia hanno la più stretta parentela, perché sono entrambe il frutto dell'immaginazione. Poesia è creazione, invenzione, finzione; e la matematica è stata definita la più sublime e la più meravigliosa delle finzioni.
(
David Eugene Smith, The Poetry of Mathematics and Other Essays)

Per tre cose vale la pena di vivere: la matematica, la musica e l'amore.
(Renato Caccioppoli)


Riflettendo sullla matematica, sul perché possa essere interessante in sé, prescindendo dalla sua utilità o dalle sue applicazioni, mi è sembrato di individuare alcuni motivi più o meno oggettivi per i quali la matematica possa essere interessante. È vero, peraltro, che in questo modo la riflessione sconfina continuamente verso considerazioni soggettive e criteri personali. Da un lato, ciò è comune a qualsiasi disciplina - se si chiede a una persona che per mestiere studia un certo argomento perché lo fa, probabilmente risponderà "perché mi piace"- dall'altro lato, forse i matematici sono più sensibili di altre categorie (artisti esclusi, probabilmente...) al criterio estetico nel loro lavoro. E allora ecco alcune caratteristiche della matematica che me la fanno amare. Intanto inizio col dire cosa la matematica non è.

La matematica è una scienza? Almeno in senso stretto (e qui parecchi di voi si stupiranno) non lo è: la scienza moderna nasce nel Seicento, la scienza matura è quella di Galileo, di Leibniz e di Newton; prima è soltanto un insieme di tentativi frammentari. La matematica invece è andata emergendo, e maturando, come sapere organizzato e strutturato in modo ipotetico-deduttivo (assiomi, definizioni, teoremi ecc.) nei tre secoli che vanno da Talete a Euclide, il periodo in cui è fiorito il grande pensiero filosofico greco. Dunque quando diviene "matura" la scienza, la matematica lo è già da circa duemila anni. La matematica è dunque un'attività legata alla razionalità umana nel suo aspetto più profondo, ma non strettamente, né necessariamente, orientata all'indagine sul mondo fisico e sulle sue leggi. Ma la matematica è, sotto un altro aspetto, scienza, perché, da quando questa è nata, la matematica ha avuto uno sviluppo impressionante, un'esplosione di ricerche e di progressi inimmaginabili prima; la scienza ha fornito alla matematica problemi, stimoli, motivazioni, applicazioni e anche strumenti per la ricerca, senza con ciò esaurire tutti i problemi, le motivazioni, gli stimoli e gli strumenti della ricerca matematica. In secondo luogo, la scienza matura nasce come scienza matematizzata: Newton ha dovuto "inventare" il calcolo infinitesimale per poter "scoprire" le leggi della meccanica; la sua opera fondamentale infatti si intitola I princìpi matematici della filosofia naturale. La scienza moderna parla col linguaggio matematico e senza di esso è muta. Quello che la scienza dice è suggerito dalle indagini scientifiche, ma senza matematica non si potrebbe formulare nessuna legge fisica e nessuna teoria.

La matematica è filosofia? Non del tutto. Anche se in ogni epoca ci sono stati luminosi esempi di grandi matematici che sono stati altrettanto grandi filosofi (Talete, Cartesio, Leibniz, Russell ecc.), nessuno può affermare che la matematica sia filosofia. Per esempio, Cartesio scrisse la sua opera filosofica Discorso sul metodo, e soltanto in appendice mise la sua Geometria: l'invenzione della geometria analitica è pubblicata in appendice a un testo filosofico fondamentale per quella disciplina. Ma le due cose sono solo inserite una dopo l'altra, sostanzialmente non hanno molto in comune. Il metodo dimostrativo della matematica è lontanissimo dal metodo argomentativo della filosofia, come è facilmente dimostrabile con una semplice considerazione: un teorema dimostrato da Cartesio è riconosciuto vero anche oggi, da tutti i matematici, mentre nessuna tesi importante di un grande filosofo di ieri vede "tutti" d'accordo oggi: in filosofia ci sono sempre i sostenitori e i detrattori, in matematica no (o almeno, in molta minor misura).

La matematica è quell'insieme di concetti, definizioni, e regole che abbiamo imparato sui banchi di scuola? In parte sì, ma spesso la considerazione della nostra esperienza scolastica porta a farci un’immagine scorretta della matematica. Talvolta un malcapitato studente, magari annoiato da montagne di esercizi lunghi, complicati, ripetitivi, è indotto a pensare alla matematica come ad un blocco granitico di regole, di definizioni, di procedimenti; a un pesante agglomerato di tecniche forse utili (ma certamente e spesso tutt'altro che piacevoli), una massa cupa, imponente e severa che esiste da secoli e che resterà immutata per altrettanti secoli, esclusivamente destinata ad essere studiata e faticosamente imparata dagli scolari di ieri, di oggi e di domani.

Ma allora, che cos'è la matematica? La prima risposta che mi viene in mente è "il prodotto dell'attività dei matematici", ma sono certo che qualcuno obietterà che così cado in un circolo vizioso (trabocchetto, per la verità, perennemente sulla strada dei matematici...). La seconda risposta, a parte gli scherzi, è che la matematica si occupa delle "verità necessarie", cioè di quello che, intorno a noi, è così perché altrimenti non potrebbe essere.

Mi spiego. Che l'accelerazione di gravità, nelle vicinanze della Terra, sia (all'incirca) di 9,8 m/s2 è una verità scientifica, perché è stata "dimostrata" attraverso innumerevoli esperimenti. È perfettamente plausibile (pensabile) un universo nel quale tale accelerazione valga, invece, 4,2 m/s2; basterebbe che la costante di gravitazione universale (Cgu) fosse diversa, l'universo intero non ne soffrirebbe in alcun modo (anzi, un tuffatore avrebbe modo di eseguire molte più piroette in aria, avendo più tempo a disposizione prima di inabissarsi in acqua...).

Ma, e qui è la differenza tra "le scienze" e la matematica, anche se la Cgu fosse diversa da quella che è, la legge di gravitazione universale, enunciata più di tre secoli orsono dalla buon'anima di Sir Isaac Newton, avrebbe esattamente la stessa forma: essa è una "formula matematica" e nessun universo sarebbe pensabile senza di essa, con qualsiasi Cgu.

In effetti, la matematica non si occupa delle "particolarità", del "contingente", bensì del "generale", del "necessario": la natura del sapere matematico è quella di stabilire le relazioni e i nessi logici tra gli oggetti dei quali si occupa. Essendo "logicamente" necessarie, le proprietà matematiche sono, in un certo senso "a priori" rispetto alle osservazioni "a posteriori" sugli oggetti. La validità universale dei teoremi matematici è resa possibile dalla natura astratta dei concetti e degli oggetti sui quali opera. Dire che un oggetto è astratto vuol dire che esso non è definito nella sua individualità, ma è definito mediante le sue proprietà caratteristiche. L'attitudine ad astrarre è legata al desiderio della nostra mente di cogliere che cosa c'è di più profondamente in comune tra molteplici oggetti di un certo tipo.

Dunque la matematica è quell'attività del pensiero umano che si occupa delle relazioni tra gli oggetti, delle simmetrie, delle similitudini e da esse trae leggi generali.

Per finire, dirò (come suggerito dalla citazione di D.E. Smith in testa) che la matematica è anche poesia; tale considerazione mi è sempre stata suggerita dalla formula (detta identità di Eulero)

e i · π + 1 = 0

Perché? perché collega alcune costanti matematiche molto importanti:


  • Il numero 0, l'elemento neutro per l'addizione (per ogni a, a + 0 = 0 + a = a).


  • Il numero 1, l'elemento neutro per la moltiplicazione (per ogni a, a · 1  = 1 · a = a).


  • Il numero π, fondamentale nella trigonometria;  è una costante per un mondo che è euclideo, o per le piccole scale in una geometria non euclidea (altrimenti, il rapporto fra la lunghezza della circonferenza di un cerchio e il suo diametro non sarebbe una costante universale, cioè la stessa per tutte le circonferenze).


  • Il numero e, una costante fondamentale connessa allo studio dei logaritmi in analisi.


  • L'unità immaginaria i (dove i = √(-1)) è l'unità nei numeri complessi. L'introduzione di questa costante rende risolvibili nel campo dei numeri complessi tutte le equazioni polinomiali.


  • La formula contiene una potenza irrazionale (il numero irrazionale neperiano e, elevato ad un esponente che contiene il fattore irrazionale π), rara nelle formule matematiche, e collega numeri irrazionali reali (e), irrazionali immaginari (i · π), e interi (0 e 1).


  • Inoltre nella medesima formula sono presenti tutti gli operatori fondamentali dell'aritmetica: uguaglianza, addizione, moltiplicazione ed elevamento a potenza; sono presenti tutte le assunzioni fondamentali dell'analisi complessa, e gli interi 0 e 1 sono collegati al campo dei numeri complessi.


Insomma, per il suo significato intrinseco e per il suo contenuto estrinseco, l'identità di Eulero è paragonabile all'Amleto di Shakespeare o alla Divina Commedia di Dante. Ed ecco perché la matematica è come la poesia.

[L'immagine di testa è per affermare che la matematica è anche umorismo...]

________________________

Chiudo il post con una segnalazione che mi riempie di gioia: la raccolta di zar "Verso l'infinito, ma con calma", è stata pubblicata sulla nota rivista di matematica ricreativa dei Rudi Matematici.

A questo link, potete scaricare la raccolta in formato .pdf, corredata di un'appendice inedita.

Consiglio caldamente ai miei lettori e ai viandanti della Rete di non lasciarsi scappare la raccolta di zar. Sarebbe un vero peccato!

14 commenti:

  1. Bellissimo post che apre una finestra sulla bellezza della matematica. Davvero di ampio respiro! Congratulazioni a Mauro.


    Vado a scaricare la raccolta di zar. Se la consigli caldamente, non è sicuramente da perdere!


    Un grazie cumulativo!

    Artemisia

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  2. Sei sempre una cara amica, Annarita!


    Un abbraccio

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  3. Ho sempre avuto un buon feeling con la matematica, ma o sempre immaginato i numeri immaginari (sic) come una sorta si antimateria come un riflesso allo specchio dei numeri reali ... immaginari, non esistenti, un riflesso, appunto irrazionali.

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  4. Che bello anche questo post! congratulazioni a Mauro.

    C'è la prima formula più bella. Adesso le hai entrambe sul blog, Annarita! Bellezza nella bellezza:)


    Questo post è all'insegna della bellezza. Vi si respira ovunque.


    Complimenti a te e ai tuoi amici.


    Vado a scaricare il pdf di zar!


    Un abbraccio

    Ruben

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  5. Interessantissimo post! abbiamo a che fare con i numeri tutti i giorni e la verità è che sono davvero una necessità

    un caro saluto

    elisa

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  6. Parole sante, Elisa.


    Un abbraccio!;)

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  7. Sto leggendo un libro che parla dell'ipotesi di Riemann dove si fondono insieme i numeri primi con quelli immaginari. Complicato per me ma affscinante ed entusiasmante in ogni caso. Approfittando della tua ospitalità ringrazio Mauro per il contributo costante che da al tuo blog. Ti abbraccio con amicizia, cara prof, e mando un saluto a tutta la famiglia. Enzo

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  8. Mauro complimenti. E' sempre un piacere leggerti. Colmi sempre le mie lacune.

    Grazie anche ad Annarita che ti ospita.

    Cumulativo vale

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  9. XPX, benvenuto su questo blog. E' un piacere leggerti. Torna a trovarmi:)

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  10. Caro Enzo, vedo che sei occupato in letture impegnative. Bravo!


    Ricambio il saluto. Un abbraccio.

    annarita

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  11. Mauro, anche tu sei un caro amico.:)

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  12. Artemisia, Ruben, grazie anche a voi per la vostra presenza.


    Un abbraccio cumulativo.

    annarita

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  13. ri-quoto la bella citazione di Feynmann che forse meglio di tutte sintetizza il vero spirito della matematica, come interpretazione del linguaggio della Natura e ricerca di una bellezza assoluta.

    Bel post.

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  14. Caro Miche, concordo!


    Grazie di essere passato. Mi mancavi:)


    Un abbraccio e a presto!

    annarita

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