Matematicamente

giovedì 26 luglio 2007

A proposito di enigmi...(2° parte)

Concludiamo con questo post la nostra carrellata sugli enigmi.

Ricordiamo gli anelli di Cardano,  gioco che apparve nell'edizione del 1550 del suo libro De Subtilitate. Tali anelli sono disposti in modo che si può agire liberamente, mettendolo ed estraendolo,  soltanto sull'anello A situato ad un estremo. Per estrarre gli altri, si procede in questo modo: considerato un anello, quello che lo precede rispetto ad A deve essere sulla sbarra e tutti gli altri prima devono essere fuori dalla sbarra. Tutti gli anelli si estraggono con (2n+1 - 1)/3 mosse se n è dispari e (2n+1 - 2)/3 mosse se n è pari.

anellidicardano

Un altro grande inventore di giochi e passatempi matematici fu Tartaglia, che insieme con Cardano scoprì la soluzione algebrica dell'equazione di terzo grado.

Bachet  pubblicò nel 1612 una raccolta comprendente problemi di fiumi da attraversare, masse da pesare, giochi coi numeri, quadrati magici, ecc.  Riporto di seguito  un esempio di problemi di masse da pesare:

"Qual è il minimo numero di pesi da usare su una bilancia per ottenere tutti i pesi interi da 1 a 40, se i pesi possono essere posti su entrambi i piatti?"

Eulero,  oltre ai quadrati magici e a problemi di teoria dei numeri, considerò il problema dei Cavalli sulla scacchiera, quello dei Trentasei Ufficiali e quello dei Sette Ponti di Königsberg, che segna l'inizio della teoria dei grafi e della topologia.
Di quest’ultimo problema, che non ha soluzione, abbiamo già parlato in un post sulle trasformazioni topologiche. Ecco l’enunciato del  problema dei Trentasei Ufficiali, posto da Eulero nel 1779:


"E’ possibile sistemare sei reggimenti, formati ciascuno da sei ufficiali di diverso rango, in un quadrato di lato 6 in modo che su una stessa riga o colonna non vi siano due ufficiali dello stesso rango né due dello stesso reggimento?"

Il problema non ha soluzione ma ha condotto ad importanti lavori di calcolo combinatorio.
Un altro famoso problema connesso agli scacchi è quello delle Otto Regine:


"In quanti modi otto regine possono essere disposte sulla scacchiera in modo che nessuna di esse attacchi un'altra?"

Il problema generalizzato (n regine su una scacchiera n x n) venne affrontato e risolto alla fine dell'800 mediante l'uso dei determinanti. C'è un'unica soluzione (a meno di simmetrie) al problema 6 x 6.

ottoregine

Ecco un'immagine del problema Icosian Game di Hamilton, descritto da questi ad un Meeting della British Association a Dublino nel 1857. Il gioco è legato al problema dei Cavalli posto da Eulero e, in termini moderni, ai circuiti hamiltoniani di un certo grafo.

icosgame

Un altro celebre problema fu quello delle Studentesse di Kirkman, del 1850:

"In quanti modi 15 studentesse possono essere disposte in 5 file di 3 per sette giorni in modo che nessuna cammini nella stessa terna per più di una volta?"

Se n è divisibile per 3, il problema si generalizza ad n studentesse che camminano per (n-1)/2 giorni. Le soluzioni per n=9,15,27 furono ottenute nel 1850 e da allora si è lavorato molto sul problema, giungendo ad importanti risultati nella teoria delle combinazioni.

Nel 1883,  Edouard Lucas inventò le Torri di Hanoi di cui abbiamo già parlato in un altro post.

Ecco un'immagine del gioco dei Soma Cubes di Piet Hein, formato da sette pezzi, da assemblare per ricostruire un cubo 3 x 3 x 3. Può essere risolto in 230 modi diversi!



somacubes

Il logico matematico, Raymond Smullyan,  compose una serie di problemi scacchistici molto differenti dai soliti e noti come problemi di analisi retrograda. Si tratta di problemi di logica matematica. Riportiamo qui il primo problema di Smullyan, composto nel 1925, quando aveva 16 anni.

Uno tra i più importanti inventori professionisti e collezionisti di rompicapi è Martin Gardner, che ha tenuto una rubrica per oltre 30 anni su Scientific American. Ecco alcuni esempi di spirolaterals, presentato da Gardner e creato da Frank Olds con sole 3 o 4 linee di codice.

Spirolaterals

Il cubo di Rubik  è il più famoso tra i rompicapi recenti. Inventato dall'ungherese Ernö Rubik nel 1974, brevettato nel 1975 e posto in vendita in Ungheria nel 1977. Si stima che le copie vendute in tutto il mondo superino i 100 milioni. Si tratta in realtà di un rompicapo di teoria dei gruppi.
 

Se vi piacciono i passatempi matematici, a questo link ne troverete una quantità sterminata.

venerdì 20 luglio 2007

A proposito di enigmi...

Cari tutti, parliamo un po’ di enigmi e, per cominciare, risaliamo al significato di questo termine attraverso la sua etimologia.

Adesso che ne conosciamo il significato, occupiamoci del termine sotto l’aspetto ludico/matematico poiché la storia della matematica è intessuta di giochi che hanno condotto allo studio di differenti aree della matematica stessa:  Teoria dei numeri, rompicapi geometrici, problemi di reti e problemi combinatori sono tra i tipi più noti di enigma.

Gli enigmi matematici variano dai più semplici ai più complessi e diversi sono ancora irrisolti.
Iniziamo con l’antico Egitto. Il Papiro di Rhind, scritto intorno al 1850 a.C, mostra che ivi la matematica si basava ampiamente  su problemi di tipo rompicapo. Cito, come esempio, un tipo di indovinello piuttosto familiare:


Sette case contengono sette gatti. Ogni gatto uccide sette topi. Ogni topo avrebbe mangiato sette spighe di grano. Ogni spiga di grano avrebbe prodotto sette misure di farina. Qual è il totale?

Rhind_papyrus

Il Papiro di Rhind

Problemi analoghi sono contenuti nel Liber Abaci di Fibonacci , scritto nel 1202, e il popolare enigma di St Ives del XVIII secolo è basato sulla stessa idea e sul numero 7.

I matematici greci produssero molti rompicapi tra cui il famoso Problema dei Buoi, tratto dall'Arenario  di Archimede:

Se sei diligente e esperto, straniero, calcola il numero di bestie del Sole…
Secondo alcune interpretazioni, questo numero è formato da oltre 200.000 cifre!


Puoi vedere qui i dettagli.

Ad Archimede  è anche  attribuita una divisione del quadrato in 14 pezzi,  un gioco simile ai Tangram cinesi, nel quale comporre figure usando i 14 pezzi. I Tangram sono ritornati in voga quando lo scrittore Lewis Carroll introdusse i Tangram di Alice.

Alice_tangrams



Tangram di Alice


A Fibonacci, è attribuito il Problema dei conigli, già analizzato in un post di questo blog, che porta alla  notissima successione di Fibonacci, di cui potete conoscere alcune proprietà  seguendo questo link.

Uno dei più antichi problemi relativi ai pezzi degli scacchi è del Guarini da Forlì, (1512 ):

Come possono  essere scambiati due alfieri neri e due bianchi se sono collocati negli angoli di una scacchiera 3x3?” (utilizzando le tipiche mosse degli alfieri).

I quadrati magici, che probabilmente risalgono a un gioco cinese chiamato lo-shu (circa 2200 a.C. ), utilizzano i numeri 1,2,3, … n2 per riempire le caselle di una scacchiera di dimensioni nxn in modo che i numeri su ogni riga, ogni colonna e ogni diagonale forniscano la stessa somma.

Agli inizi del XVI secolo, Cornelio Agrippa costruì i quadrati per n= 3,4,6,7,8,9, che associò ai sette pianeti allora noti (compresi Sole e Luna).

La famosa incisione di Dürer, Melancholia, del 1514, comprende l'immagine di un quadrato magico. Ecco il particolare del quadrato magico, contenuto nell’incisione.

Melancholia

Melancholia

Il numero di quadrati magici di un determinato ordine è ancora un problema irrisolto, incluso il caso n=5.
Il quadrato di Dürer  è simmetrico e verifica altre proprietà: ad esempio tutte le sue diagonali hanno per somma lo stesso numero.

Eulero studiò questo tipo di quadrati, noti come "pandiagonali" e trovò che non esistono quadrati pandiagonali di ordine 2(2n+1). Per n=4, esistono 880 quadrati magici, di cui 48 pandiagonali.

Bene! Finisce qui, per ora, la nostra carrellata dedicata agli enigmi. Se vi interessa il seguito, sintonizzatevi su questo blog.

 

giovedì 19 luglio 2007

Larte de Labbacho

Riporto di seguito delle informazioni su un libro che riveste una notevole importanza  per la storia della matematica.

Leggete ragazzi, curiosi di conoscere...sono invitati anche i grandi, naturalmente.

Larte de labbacho è  il primo libro di matematica a stampa pubblicato al mondo, un manuale anonimo noto anche come l’Aritmetica di Treviso. Gli studiosi concordano sul 10 dicembre 1478 come data della sua  pubblicazione. Non c’è, invece, concordanza circa l’ignoto stampatore. Alcuni, infatti, propendono per  il fiammingo Gerardo da Lisa,  altri per Michele Manzolo, detto Manzolino. Sembra che Pace da Fabriano, indicato quale inventore della carta di lino, si stabilisse nella citta veneta, in quell'epoca.

abbaco
Simboli contenuti in una pagina del libro

Si nota, inoltre, che particolarmente stretta deve essere stata la collaborazione tra l’anonimo Autore del manuale di aritmetica (scritto probabilmente da un prete e dedicato ad alcuni suoi giovani amici che lo avevano richiesto con insistenza) ed il tipografo -editore: infatti, alcune considerazioni sulle fasi lunari sono riferite al “decembrio del 1478”: ciò confermerebbe che la stesura degli ultimi capitoli dell’opera in esame avviene pressoché contemporaneamente alla stampa delle prime sezioni del libro.

Il contenuto del libro è interessante rispetto alla evoluzione del sapere matematico in occidente: in esso si usano le cifre arabe, non più la notazione romana dei numeri, raccomandata sin nel 1348 dalla Università di Padova per indicare i prezzi dei libri.

Larte de labbacho è un trattato elementare costituito da sessantadue pagine non numerate, limitato alle applicazioni commerciali dell'aritmetica. Ricalca il "Liber Abbaci" di Leonardo Pisano detto Fibonacci, scritto nel 1202, più vasto e rimasto fondamentale per quasi 300 anni, superato solo dal libro di Luca Pacioli, uscito nel 1494 a Venezia col titolo "Summa di Aritmetica, di Geometria, Proporzioni et Proporzionalità".

L’opera, dichiaratamente dedicata “a ciascheduno che vuole usare larte de la merchadantia chiamata vulgarmente larte de labbacho”, è caratterizzata da una chiara impostazione didattica, ed è impreziosita da un ricco corredo di esempi, sapientemente calibrati per difficoltà.

L’opera si apre con la precisazione di alcune definizioni: innanzitutto, viene detto numero “una moltitudine congregata [...] da molte unitade . et al meno de la do unitade : come e 2 el quale e lo primo e menore numero che se truova” (ne Larte de labbacho sono considerati esclusivamente i numeri interi non negativi). Sono indicati come fondamentali, nella pratica aritmetica, cinque “atti”:  il contare (con la numerazione in base dieci) e le quattro operazioni.

Ne Larte de labbacho non compaiono i segni con i quali, modernamente, sono indicate le operazioni aritmetiche (+, –, ×, :), in quanto, rispetto alla data di pubblicazione del manuale trevigiano (1478), l’introduzione di tali segni è più tarda . Le operazioni aritmetiche sono così denominate:

"levare, cavare” (sottrarre), operazione indicata dalla parola “de”;
“moltiplicare”, operazione indicata dalla parola “fia”;
“partire” (dividere), operazione indicata dalla parola “in”.


Dal punto di vista pratico, l’Autore, pur ricordando la validità della proprietà commutativa dell’addizione, suggerisce di eseguire l’operazione in colonna disponendo sempre l’addendo maggiore sopra l’addendo minore; all’attenzione del lettore è inoltre segnalata l’opportunità di controllare l’esattezza dei calcoli effettuati, ad esempio attraverso la “prova del nove”.

Per quanto riguarda la sottrazione, l’Autore ricorda che “mazor da menore non puo fir cavato” ed illustra numerosi esempi pratici (tratti dagli esempi già proposti per l’addizione), eseguiti in colonna.

Il libro originale esiste in pochissime copie: 8 elencate nel 1888 da Pichi e una citata da D.E.Smith nel 1958 esistente in America. Nei 500 e più anni dalla sua uscita il libro è stato oggetto di numerosi studi, ricordati nelle ristampe recenti:

Il libro Larte del Labbacho è stato ristampato in copia anastatica dall'Editore Zoppelli nel 1969. 

mercoledì 18 luglio 2007

I "coniglietti" di Fibonacci

Cari  alunni, se talvolta, tra un bagno al mare e un’escursione in collina, vi trovate a passare da queste parti, troverete un famoso problema, noto come “I Coniglietti di Fibonacci che propongo a voi, ma  anche ai visitatori adulti, a scopo sia ludico che conoscitivo.
Passiamo al problema, senza perderci in chiacchere.


Immaginate di possedere una coppia di giovanissimi conigli, che dopo un mese di vita diviene feconda e, da quel momento in poi, genera una nuova coppia di coniglietti al mese.
Ogni nuova coppia di coniglietti si comporterà allo stesso modo: dopo un primo mese di attesa, genererà una nuova coppia di coniglietti al mese, tutti i mesi. Seguite l’evoluzione del gruppo di coniglietti e fate attenzione al numero di coppie che avrete a disposizione, mese dopo mese.


conigli1


1. All’inizio avete solo una coppia A, non feconda;


2. dopo un mese, avete ancora la sola coppia A, che è divenuta feconda;


3. dopo due mesi, A (che resta) ha generato una nuova coppia B, inizialmente non feconda;


4. dopo tre mesi, A ha generato C, inizialmente non feconda, e B è diventata feconda…


Se contate, mese dopo mese, il numero delle coppie di coniglietti, troverete la successione di Fibonacci, così denominata su proposta del matematico francese Edouard Lucas (1842-1891, inventore tra l'altro delle Torri di Hanoi, di cui abbiamo già parlato  su questo blog e di cui potete vedere una immagine animata):


1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; …


I calcoli diventano sempre più fastidiosi; ci chiediamo quindi come poter  scrivere una “regola” che  aiuti a calcolare con facilità i termini di tale successione. Insomma:


"Quante saranno le coppie di coniglietti ad un mese considerato?"


Ci saranno, ovviamente, tutte le coppie del mese precedente. Ci saranno poi le coppie “neonate”: quante? Una per ogni coppia feconda (nel mese precedente al mese considerato). Ma le coppie di coniglietti diventano feconde dopo un mese di “attesa”. Quindi il numero di coppie in età feconda al momento considerato è il numero delle coppie presenti due mesi prima.


Quindi: il numero a(n) di coppie al mese n-esimo è la somma del numero delle coppie presenti nei due mesi precedenti:


a(0) = 1; a(1) = 1; a(n+2)= a (n+1)+a(n )         dove n è un numero naturale


La successione di numeri: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 15, …si ritrova in molte applicazioni.  Ad esempio, consente di tassellare un piano con una sequenza di quadrati due soli dei quali con lati uguali. Una sequenza strettamente imparentata con la spirale!


spirale


Possiamo anche rappresentare in un grafico l'andamento della nostra “popolazione” per i primi mesi (consideriamo, ad esempio, il primo anno):


grafico 1


Se esaminiamo il rapporto tra il numero di coppie al mese n-esimo e al mese (n+1)-esimo, troviamo che al crescere di n tale rapporto tende a “stabilizzarsi” intorno ad un valore di poco superiore a 0,6:


grafico 2
E' tutto. Mi auguro che vi siate divertiti un pochino.


 


 

venerdì 13 luglio 2007

Un "grazie" a JulianaJu e a Krasta

Non  scrivo mai un post come questo nei miei blog didattici: le riflessioni o i pensieri  di carattere non didattico li posto nel blog personale.


Ma come si fa a resistere quando, appena postato un articolo sulle topologie, una ragazza giovanissima, capitata qui per caso, ti scrive un commento dicendo che trova fantastico questo blog .....un blog didattico, dico! E i blog didattici in genere sono ritenuti "pallosi", si sa! ( Scusate, miei alunni che vi trovate a leggere quest'ultimo termine....di carattere non propriamente didattico, ma quando ce vo'...ce vo'). Non solo, questa ragazza va ad inserire un link in un post sul suo blog, invitando i visitatori a "farci un salto".....sul blog di matematica! Ci credereste voi?


E che dire di JulianaJu, che, anch'essa capitata per caso, addirittura dichiara in un commento di essere un po' invidiosa di non avere avuto una prof. di matematica come me??? Che cara......


Dico come si fa a resistere a tutto cio'? Pertanto, vi ringrazio perchè se questi blog didattici vanno avanti (e credetemi non è facile farlo) è grazie a pensieri e sentimenti come i vostri! Affini a quelli dei miei alunni, per i quali questo blog e l'altro di scienze sono nati. Loro lo sanno molto bene!


Ancora grazie, Krasta e JulianaJu. A presto 

La percorribilità di una rete topologica e i ponti di Konigsberg

Riprendiamo, allora,  l'argomento sulle topologie introdotto nel post precedente e parliamo, per la precisione, della percorribilità di una rete topologica. Nelle figure 1 e  2, potete  osservare uno schema detto rete topologica: costituito da archi che uniscono dei punti detti nodi. Si chiama ordine del nodo il numero degli archi che si incontrano in quel nodo.


Nell’esempio, osservate che i nodi A,B,C,D, sono di ordine 3 mentre il nodo E è di ordine 4.


Gli archi delimitano una superficie ( compresa quella esterna) detta regione.
Una rete topologica si dice percorribile se esiste un percorso che passi per ogni arco una sola volta senza interruzione.


Il grande matematico svizzero Eulero (1707- 1783) studiò il problema della percorribilità delle reti e  pervenne alle seguenti conclusioni:


1. una rete topologica è percorribile se i suoi nodi sono tutti di ordine pari. Il punto di partenza può essere un nodo qualsiasi e coincide con il punto di arrivo.
2. Una rete topologica è percorribile se ha soltanto due nodi di ordine dispari, senza ritornare al punto di partenza.


rete topologica


Come applicazione di quanto illustrato prima, vi propongo il celebre problema che suscitò l’interesse del grande matematico Eulero. Osservate attentamente le immagini seguenti.


Nel fiume Pregel, che attraversa la città di Königsberg (ora Kaliningrad) vi sono due isole collegate, fra loro e con le rive opposte, da sette ponti disposti come nel disegno.


i ponti di Konigsberg


Provate a rispondere, adesso, alle domande:


1. I nodi B, C, D sono di ordine pari?



2. E’ impossibile attraversare i sette ponti, senza mai passare due volte per lo stesso    ponte?


3. Ci sono due soli nodi di ordine dispari?


4. I nodi B, C, D sono di ordine dispari e il nodo A è di ordine pari?


Non vi fornisco, per adesso, la soluzione. Lasciamo passare qualche giorno e poi la pubblico in un nuovo post. Basta riflettere attentamente perchè non è difficile!


A presto

giovedì 12 luglio 2007

Parliamo di topologie.......

Cari ragazzi di ex-terza A (mi fa uno strano effetto pensarvi in questi termini...) alcuni di voi, durante gli ultimi giorni di scuola, mi hanno chiesto se avessi potuto fornire durante l'estate qualche risorsa o trattare degli argomenti per farvi allenare in vista dell'accesso alla scuola secondaria superiore.


Non vi ho fatto promesse, ma compatibilmente con la mia disponibilità di tempo cercherò di venire incontro alle vostre richieste. Già ho postato un articolo "Le Torri di Hanoi" che ha toccato l'argomento delle serie.


Parliamo, in questo post, di topologie in modo  semplice e accessibile perchè l'argomento, in genere, risulta ostico e poco gradito a voi studenti


Abbiamo trattato, durante l'anno, in particolare alcune trasformazione geometriche: le simmetrie. Avete, si spera, acquisito l'idea di trasformazione geometrica .


Bene, diciamo subito che  nelle trasformazioni topologiche ben poche caratteristiche della figura rimangono inalterate al punto che si potrebbe addirittura parlare di geometria delle deformazioni.


Analizzate, attraverso l’osservazione della figura 1, le proprietà che rimangono invariate:


 le linee rimangono aperte o chiuse, semplici o intrecciate ( a;b;c;d).
 Un punto appartiene a una linea o a una regione ( a;b;c;d).
 L’ordinamento dei punti su una linea rimane inalterato (d).
 Il numero di regioni, archi e nodi rimane costante ( b;c;d).


Per finire, leggete con attenzione il significato di alcuni termini usati nel linguaggio della topologia (figura 2).


 Si chiama grafo una figura piana composta da punti, detti nodi, collegati da un certo numero di segmenti o archi.
 Si dice arco la parte di linea che collega due nodi.
 Si dice regione la parte di piano delimitata da archi. Nel numero di regioni di un grafo si considera anche quella ad esso esterna.


topologie
Fin qui tutto chiaro?  Allora seguitemi nel post successivo

sabato 7 luglio 2007

Eduknoppix per studenti e insegnanti

Posto di seguito una segnalazione  (per gli appassionati di Linux o per quanti vogliono iniziare a conoscere questo S.O. open  source) su Eduknoppix, una risorsa veramente interessante, utilizzabile sia da docenti che studenti. Alcuni ne saranno sicuramente a conoscenza, ma forse altri saranno lieti di  sapere di cosa si tratti.


EduKnoppix è una distribuzione GNU/Linux basata su Knoppix, rivolta principalmente a studenti ed insegnanti, che permette di familiarizzare con il sistema operativo GNU/Linux e con i suoi applicativi educational.


EduKnoppix è una distribuzione live, ciò significa che si avvia e funziona dal CD, non occorre installare nulla sul disco fisso del computer.


EduKnoppix include, fra l'altro, le versioni più recenti di Maxima: un potente sistema di computer algebra, Octave: un linguaggio per calcolo numerico.......


                                                                                                                                                         continua a leggere >>


A presto

mercoledì 4 luglio 2007

Software didattico interessante

Segnalo ai colleghi di matematica  un software  shareware veramente interessante, adatto sia alla scuola secondaria di 1° grado che alla primaria. Potete trovare diverse schede demo utilizzabili cinque volte. Insomma dategli un'occhiata e non ve ne pentirete.


Il software riguarda sia aspetti numerici che geometrici. L'insegnante può costruire diversi itinerari didattici a seconda delle esigenze della classe o del singolo alunno. Particolarmente interessante l'impiego dinamico per la geometria.


A presto


 



domenica 1 luglio 2007

Il paradosso di Zenone

Cari ragazzi di terza (o meglio ex-terza) se vi trovate a passare dal blog vi consiglio di leggere con attenzione il famoso paradosso di Zenone, che enuncio di seguito. Provate a ragionarci su per gioco e se vi doveste trovare in difficoltà leggete la soluzione, fornita dopo l'enunciato. Diciamo che il problema, in cui si fa ricorso alle serie, può essere un utile esercizio di preparazione in vista del passaggio alle scuole superiori.


Naturalmente, possono cimentarsi anche i grandi se ne hanno voglia


Il piè veloce Achille  sfida alla corsa una lenta tartaruga, dicendole:


- Scommettiamo che riesco a batterti nella corsa anche dandoti dieci metri di vantaggio ?


La tartaruga risponde: - Sai, io sono molto lenta,  ma se mi dai un vantaggio di dieci metri, non riuscirai a battermi!


Achille replica:- Sì che posso, io sono il doppio più veloce di te.


E la tartaruga:- Anche se sei il doppio più veloce non potrai mai raggiungermi. Vedi, mentre tu percorri i dieci metri, che mi hai dato di vantaggio, io mi sposto in avanti di cinque. Tu dovrai poi percorrere questi cinque metri, ma io mi sarò spostata in avanti di altri due metri e mezzo, che tu dovrai recuperare. Ma, mentre tu cercherai di raggiungermi facendo questi due metri e mezzo, io mi sarò spostata di un altro metro e venticinque e così via senza fine, cosicchè tu non potrai mai raggiungermi.


Così dicendo, la tartaruga tracciò sulla terra un disegno che spiegava la situazione. Achille osservò a lungo il disegno, ripetendo mentalmente più volte il percorso della gara, non capacitandosi di come non fosse possibile, a lui così veloce, raggiungere il più lento animale. D'altronde Achille avrebbe potuto, seguendo un altro ragionamento, sostenere di poter vincere la gara. Infatti, quando Achille avesse percorso, diciamo, trenta metri, la Tartaruga ne avrebbe percorsi solo quindici; detratti i dieci metri di vantaggio iniziali, Achille si sarebbe ancora trovato in vantaggio di cinque metri. Il paradosso appassionò molto gli antichi, che non conoscevano la teoria delle serie e trovavano inspiegabile il ragionamento. Proviamo anche noi a riflettere su quel disegno...


tartaruga-achille


SOLUZIONE
Quando Achille si trova in Ao la tartaruga è in To. Achille corre per raggiungerla ed arriva in A1. La tartaruga nel frattempo si è spostata in T1, avendo percorso metà della distanza di Achille, ma restando sempre in vantaggio. Il processo si ripete, apparentemente fino all'infinito e sembra proprio che Achille non raggiunga mai la tartaruga.


Svolgiamo però il calcolo delle distanze, cosi come dei tempi, supponendo che la velocità di Achille sia v =1 m/s (ricordando che la distanza AoA1 è di dieci metri). Achille percorre una distanza pari a Da = 10+5+2.5+... metri, in un tempo t = 10+5+2.5+... secondi.


La tartaruga percorre una distanza Dt = 5+2.5+1.25+... metri in un tempo uguale. Si vede subito che si tratta di tre serie geometriche convergenti. Per es. Da = 10(1+1/2+1/4+...) = 10[1/(1-1/2)] = 10(2) = 20 metri. Dt è la metà di tale valore mentre il tempo impiegato è t = 10(1+1/2+1/4+...) = 10[1/(1-1/2)] = 10(2) = 20 secondi. Dunque dopo venti secondi, avendo percorso venti metri in tutto, Achille raggiunge la tartaruga e un attimo dopo la supera definitivamente.


La vittoria dell'uno o dell'altra dipende da dove viene posto il traguardo. L'errore nel ragionamento è quello di ritenere che una somma di infiniti termini debba dare sempre un risultato infinito. Alla luce delle moderne conoscenze matematiche la soluzione è addirittura banale e si riduce ad un semplicissimo esercizio di cinematica.


A presto



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